Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Pre-álgebra/Tema 5. Números enteros

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Indicadores de logro

1. Utiliza las propiedades de los números enteros en la solución de situaciones problemáticas.
2. Reduce términos semejantes de una expresión algebraica para encontrar la solución en diferentes situaciones.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y resuelva.

• Copie el cuadro mágico de la Figura 1 en el cuaderno.
• Complete de modo tal que la suma de las fracciones de cada fila, columna y diagonal siempre sea la misma fracción.

Figura 1

4/x		2/x
	5/x

2. Lea, resuelva y exponga. Una historia poco creíble: un caracol desea trasladarse de un jardín a otro, escalando el muro de separación que tiene 12 metros de altura.

Trepa verticalmente por el muro recorriendo de día 3 metros y de noche desciende verticalmente 2 metros.

3. Establezca una estrategia para determinar:

• ¿En cuántos días llegará el caracol a la cima del muro?
• ¿Dónde se ubica al transcurrir 2 semanas?

El mapa de un tesoro indica caminar 50 pasos al norte de un punto A, luego caminar 73 pasos en sentido contrario y comenzar a cavar.

• Determine cuál es la posición del terroso con respecto al punto A.
• Dibuje un plano indicando los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste).
• Ubique el inicio en el centro del plano.
• Trace flechas para representar los desplazamientos que se indican en las instrucciones del mapa.
• Plantee una operación que le ayude a saber dónde cavar.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

La suma y la resta de enteros. Los números enteros se suman de dos en dos, se puede asociar con paréntesis, de dos en dos, de la forma que se quiera. Dos enteros con signos iguales, se suman los valores absolutos y se conserva el signo que tienen. Dos enteros con signos diferentes se restan sus valores absolutos y el signo que resulta es del mayor absoluto.

Ejemplo 1:

-3+7+2=(-3+7)+2 Se restan -3 y 7

=4+2=6 Se suman 4 y 2

Ejemplo 2:

4-2+5-9=(4-2)+5-9 Se resta 4 y 2

=(2+5)-9 Se suma 2 y 5

=7- 9=-2 Se resta 7 y 9

Ejemplo 3:

5-7-9+3=(5-7)-9+3 Se resta 5 y -7

=(-2-9)+3=-11+3 Se suman 2 y 9

=-8 Se resta -11 y 3

• Copie en el cuaderno los ejemplos y comparta sus hallazgos.
• Copie y resuelva en el cuaderno los siguientes ejercicios, tome en cuenta las propiedades.

a) -4+10-1+5

b) -12+6+8+3

c) 8-6-2-8

d) -7-3+10

e) -9+12-4-7

Multiplicación y división de números enteros

La multiplicación o división de dos números enteros se puede realizar, si se aplican las leyes de signos que a continuación se describen:

Ley de signos para multiplicación (+) * (+) = (+) (-) * (-) = (+) (+) * (-) = (-) (-) * (+) = (-)

Ejemplos: (+2) * (+5) = (+10) (-4) * (-6) = (+24) (+3) * (-7) = (-21) (-5) * (+6) = (-30)

Ley de signos para división (+) ÷ (+) = (+) (-) ÷ (-) = (+) (+) ÷ (-) = (-) (-) ÷ (+) = (-)

Ejemplos: (+4) ÷ (+2) = (+2) (-15) ÷ (-3) = (+5) (+18) ÷ (-6) = (-3) (-24) ÷ (+3) = (-8)

• Copie en el cuaderno y proponga dos ejemplos por cada ley y explíquelos.

Términos semejantes

En álgebra, la suma y resta utilizan las leyes de los enteros, y solo se pueden reducir (sumar y restar) términos semejantes. Un término semejante son todas aquellas expresiones que tienen la misma expresión literal [math]\displaystyle{ {a, b^2, x^n...}. }[/math] Las siguientes expresiones son términos semejantes: [math]\displaystyle{ -2a^2 y 5a^2; m y 3m. }[/math] Al sumar [math]\displaystyle{ -3x^3 +5y^2 + 7x3^3-9y^2 = 3x^3 + 5y^2 + 7x^3 - 9y^2 = 4x^3 -4y^2 }[/math]

• Si P= (3x - 2y + 10) y Q = (-2x +6y - 12), escriba la expresión que resulta de P + Q.
• Comparta el resultado y explique cómo lo hizo.

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

1. Identifique y examine las situaciones.

Un buzo se encuentra a 57 m bajo el nivel del mar y desea observar de cerca un pez que se encuentra 79 m bajo el nivel del mar. ¿Qué distancia debe descender?

• Dibuje la situación e identifique los datos.
• Plantee una estrategia y comparta.

Para almacenar carne, la temperatura de una cámara de frío se encuentra a -12 °C. Si cada 5 minutos asciende 2 °C. ¿A cuánto ascenderá la temperatura después de 25 minutos?

2. Exprese el resultado en la recta numérica y luego plantee una estrategia.

Si P= (3x + 2y) y Q= (2x - y). Encuentre la diferencia que existe entre P + Q y P - Q

• Establezca la expresión que representa la suma y la resta.
• Comparta sus resultados y explique cómo lo logró.
• Observe e identifique las diferencias entre la expresión y explique.

Nivel: Comprensión

3. Organice y relacione la información.

Andrea sale a pasear en su automóvil. Recorre 120 km al Oeste de una ciudad. Luego decide regresar por el mismo camino hacia el Este, recorriendo trayectos de 52 km en la primera hora, 48 km en la segunda y 61 km en la tercera hora.

• Dibuje un plano indicando los puntos cardinales y ubique la ciudad en el centro.
• Exprese la posición del vehículo con respecto a la ciudad al terminar la primera, la segunda y la tercera hora.

Los lados de un triángulo están definidos por las expresiones: (3a + b); (2a - 2b); (5a - 3b)

• Dibuje un triángulo e identifique sus lados con las expresiones.
• Encuentre la expresión que representa el perímetro de ese triángulo, comparta su resultado.
• Si a = 2 y b = -6, calcule el perímetro. Explique.

Nivel: Análisis. Ordene los datos y plantee estrategias

4. Trabaje en el cuaderno y comparta sus resultados.

La temperatura subió a razón de 3°F por hora hasta alcanzar 0°F al medio día. ¿A qué hora la temperatura era de -21°F?

• Plantee sus ideas y expliquélas.

Cuando se pusieron unos vegetales guisados en el congelador, la temperatura bajó un promedio de 19°C cada hora durante 6 horas. Si la temperatura de cocción era de 108°C, ¿Cuál fue la temperatura después de las 6 horas?

• Escriba un procedimiento que facilite hallar la solución.

Un avión se dirige hacia el Norte a una velocidad dada por la expresión 2x - 5y -3, pero sopla un viento de Norte a Sur, a una velocidad representada con la expresión 4x - 6y - 5.

• Dibuje un plano con los puntos cardinales y trace flechas para representar los movimientos del avión y el viento.
• Encuentre la expresión de la velocidad con la que en realidad se mueve el avión.
• Sustituya x = 15 e y = 60, qué valor tiene la velocidad del avión. Explique su resultado.

Nivel: Utilización

5. Plantee una estrategia utilizando la información para resolver los problemas. Resuelva en el cuaderno. Exponga la estrategia y los resultados obtenidos.

Un submarino navega a una profundidad de 30 metros. Asciende 12 metros, luego se sumerge 21 metros y asciende 13 metros.

• ¿A qué profundidad está el submarino?
• Elabore una recta numérica vertical y ubique las posiciones.
• Plantee operaciones que ayuden a encontrar la profundidad del submarino.

El punto más bajo en África es el lago de Assal, que está a 156 metros bajo el nivel de mar. El punto más bajo de Sudamérica es la península de Valdés, que está a 40 metros bajo el nivel del mar.

• Establezca cuántos metros hay de diferencia en la profundidad, luego cuál y cuánto está más profundo.

Uziel es un deportista olímpico, se prepara para participar en una regata (competiciones de embarcaciones a vela) y practica en el lago de Atitlán. Se observa que se dirige hacia el Este con una velocidad expresada como 4x -2y + 4, pero su velocidad total, incluyendo el viento está dada con la expresión 6x - 24 + 4.

• Encuentre la expresión que representa la velocidad del viento.
• Calcule el valor de la velocidad del viento si x = 3 e y = -2.
• Identifique si está a favor o en contra del viento.
• Explique sus resultados.

Resultados a los ejercicios del tema

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

Respuestas de la fase de inicio

1. Oriente a que la suma en cualquier dirección del cuadro mágico es [math]\displaystyle{ \frac {15}{x} }[/math] . Utilice los dígitos(0…9).

2. Explique que el caracol avanza +3 al día y desciende -2 por la noche, entonces recorre 1 metro por día, tardará 12 días en llegar a la cima. En dos semanas completas hay 14 días entonces se encuentra descendiendo dos metros del otro lado del muro.

Dibuje un plano con los puntos cardinales y el punto A ubicado en el centro. Calcule 50-73=-23, explique que caminó 50 pasos al norte y luego se regresó hasta el punto A y luego caminó 23 pasos al sur.

Respuestas de la fase de cierre

Ejercicios del tema

Conocimiento y recuerdo

1. Identifica y examina las situaciones.

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Opere -57 – (-79)=22, aclare que aunque la respuesta obtenida es positiva el movimiento es hacia abajo.

Plantee -12-2*(25÷5)=-12-10=-22; debe dividir entre 5 los minutos totales para saber cuántos grados descendió.

2. Calcule la suma 3x + 2y + 2x - y = 5x + y; y la resta 3x + 2y - 2x + y = x + 3y, explique que el signo de la resta hizo que la segunda expresión cambiara de signo en todos sus elementos.

Comprensión

3. Organice y relacione la información.

Refuerce lo que lee y, asocie un número, una variable y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Calcule: primera hora -120 + 52 = -68 a la izquierda; segunda hora -120 + 52 + 48 = 20 a la izquierda; tercer hora -120+52+48+61=41 a la derecha.

Calcule -128 ÷ (-2)=64. Son 64 rondas exactas sin ganar puntos en ninguna de ellas.

Dibuje los triángulos y explique que no interesa la posición de las expresiones. Indique que el perímetro es la suma de los lados. El perímetro será: P=3a+b+2b-2b+5a-3b P=10a-3b, pregunte si es posible que el valor del perímetro sea negativo, al sustituir queda: P=10(-2)-4(-6)=4

Respuestas de la fase de análisis

Ordena los datos y plantea estrategias

Identifique diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

4. Plantee para hallar la solución: - 21÷3=-7 Son las horas que han transcurrido. 12 - 7 = 6 am hora de inicio.

Opere: -9° (6) = - 54 entonces 108°C - 54°C = 108°C -9° (6) = 54°C

Utilización

5. Plantee una estrategia utilizando la información para resolver los problemas.

Llegue a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Explique las posiciones de la siguiente manera:

-30\Downarrow; 12\Uparrow; -21\Downarrow; y 13\Uparrow;

Opere:

-30 + 12 - 21 + 13 = -26 m

Proponga la operación: -156 - (-40) = -116, e indique que la profundidad está asociada al lago de Assa.

Calcule la velocidad del viento: 6x - 2y + 4 - 4x + 2y - 4 = 2x

En esta situación razone como vectores:

Velocidad de la embarcación:

[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]

4x - 2y + 4

Velocidad de la embarcación incluyendo viento.

[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]

6x - 2y + 4

El segmento de recta que desconoce es la velocidad del viento, por lo tanto, opere:

(6x – 2y + 4) – (4x – 2y +4) = 2x

Evalúe la expresión: 2 (6) = 12.

Destrezas fonológica que consiste en dividir los fonemas o sílabas de una palabra.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.