Tema 1. Sistemas de ecuaciones: Método gráfico y método por igualación
Inicio
Indicadores de logro
- Determina si una pareja ordenada es solución de un sistema de ecuaciones.
- Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando método gráfico y método por igualación.
Todas las actividades de este cuadernillo son para que usted las realice solo o acompañado de otros docentes. También puede aplicarlos con estudiantes del ciclo básico.
1. Identifique y explique si Ana y Beto caminan de forma paralela o perpendicular uno respecto al otro.
Ana, ubicada en el punto A (0,10) y Beto, en el punto B (0,1.8) caminan sobre una línea recta, de tal manera que se encuentran en el punto C (4,5), como se muestra en la gráfica 1.
a. Si la ecuación de la trayectoria de Ana es [math]\displaystyle{ Y =-\frac{5}{4} }[/math], ¿cuál es la pendiente de la trayectoria de Beto?
Razonamiento matemático
1. Las rectas que se intersecan y forman un ángulo de [math]\displaystyle{ 90° }[/math] se llaman rectas perpendiculares. Una forma de demostrar que son perpendiculares es multiplicar sus pendientes: [math]\displaystyle{ m_1*m_2 }[/math]; si el resultado es: [math]\displaystyle{ -1 }[/math], son perpendiculares.
Observe que la pendiente de la recta relacionada con Ana es:
[math]\displaystyle{ m_A=\frac{10 - 5}{0 - 4}=frac{5}{4} }[/math]
a. La pendiente de la recta relacionada con Beto es: [math]\displaystyle{ m_B=\frac{5 - 1.8}{4 - 0}=frac{4}{5} }[/math]
Ana y Beto caminan en direcciones perpendiculares porque [math]\displaystyle{ (-5/4)*(4/5) }[/math] es [math]\displaystyle{ -1. }[/math]
Desarrollo
Nuevos aprendizajes
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: Ax + By = C, donde x e y son las incógnitas y los números A, B y C son conocidos. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.
1. Lea y resuelva.
- a. Complete las siguientes tablas en el cuaderno.
- b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada ecuación en un mismo plano; utilice un color para cada ecuación.
- c. Trace una recta sobre puntos comunes para cada ecuación.
- d. Identifique y escriba las coordenadas donde se intersecan las ecuaciones y explique qué representa ese punto.
Tabla A para la ecuación x+2y=7 | ||||||||
A | Si “x” vale: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Entonces “y” vale: | 7/2 | 3 | ||||||
Tabla B para la ecuación x-y=4 | ||||||||
A | Si “x” vale: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Entonces “y” vale: | -4 | -3 |
Razonamiento matemático
- b. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto de intersección; debido a que el punto de intersección se encuentra sobre ambas rectas, esta pareja ordenada (x,y) es la solución del sistema.
- c. Al graficar las ecuaciones, se intersecan en el punto (5,1), que es donde las coordenadas o soluciones son las mismas para ambas ecuaciones.
2. Lea.
Observe la Gráfica 2, donde se muestran la recta f y la recta g en un mismo plano.
- a. Despeje la variable “y” de ambas ecuaciones e iguales las rectas, de tal manera que sea una ecuación con una sola variable.
- b. Despeje la ecuación resultante para encontrar el valor de x.
- c. Encuentre el valor de y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación de las rectas.
- d. Compare los resultados con el punto A mostrado en la Gráfica 2.
Razonamiento matemático para la actividad 2
- a. Otra manera para resolver sistemas de ecuaciones es usar el método por igualación, que resulta especialmente útil cuando las dos ecuaciones están en forma Ax+By=C.
- b. Al despejar “y” de la recta f, queda y= - x + 5; al despejar “y” de la recta g, queda y=x -1. Como ambas tienen la misma solución (sistema simultáneo), entonces f=g, al igualar queda - x + 5= x -1.
- c. Al despejar, se encuentra x= 3; al sustituir en cualquier ecuación de las rectas, se encuentra y=2 porque y= -3+5=2 o y=3 -1=2.
- d. Según los despejes x=3 e y=2; entonces, (3,2) es la solución del sistema.
Cierre
Ejercicios del tema
1. Lea el caso y resuelva las actividades.
Tres grupos de estudiantes de distintos centros educativos salen de excursión a diferentes lugares turísticos.
a. Complete la tabla con la información de los modelos que describen la ruta de cada grupo.
Minutos x | 0 | 20 | 24 | ... | 40 |
Kilómetros y | |||||
Grupo 1 | 32-0.5(0) | 32-0.5(20) | 32-0.5(24) | ... | 32-0.5(40) |
Grupo 2 | 16+0.3(0) | 16+0.3(20) | 16+0.3(24) | ... | 16+0.3(40) |
Grupo 3 | 8+0.5(0) | 8+0.5(20) | 8+0.5(24) | ... | 8+0.5(40) |
- b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada grupo en un mismo plano.
Utilice diferentes colores para cada grupo. - c. Trace rectas sobre los puntos comunes para cada grupo.
- d. Identifique si, en algún punto, los grupos se encuentran en la ruta a su destino.
- e. Interprete y explique las intersecciones en las rutas.
Razonamiento matemático
- a. Coordenadas para grupo 1: (0,32), (20,22), (24,20), (40,12). Coordenadas para grupo 2: (0,16), (20,22), (24,23.2), (40,28). Coordenadas para grupo 3: (0,8). (20,18), (24,20). (40,28).
- b. El método gráfico es útil para visualizar la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas e interpretar la información mostrada en la gráfica.
c-e. Al graficar, se identifica que el grupo 1 se encuentra con el grupo 2 en (20,22) y con el grupo 3 en (24,20). El grupo 3 y grupo 4 se encuentran en (40,28). El grupo 1 y 2 han viajado durante 22 minutos, el grupo 1 ha recorrido 12 kilómetros y el grupo 2 ha recorrido 4 kilómetros. En el caso de los grupos 2 y 3, se encuentran cuando han viajado 24 minutos, el grupo 2 ha recorrido 24 kilómetros y el grupo 3 ha recorrido 32 kilómetros.
2. Resuelva las actividades del caso de Carlitos.
Los amigos de Carlitos celebran su cumpleaños; para ello, compran hielo y refresco. Cuando se dirigen a la tienda, se encuentran con el profesor de matemática del instituto y les plantea un sistema de ecuaciones simultáneas: [math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} 5y& + &x& =& 170 \\ 4y& + &3x& =& 158 \end{matrix} }[/math]
Él les explica que este sistema está relacionado con el precio del hielo y el refresco. Les propone que si encuentran el precio del hielo y el refresco pagará la cuenta.