Tema 2. Teoría de números

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Indicadores de logro

Escribe expresiones algebraicas a partir de un enunciado verbal.
Plantea ecuaciones de primer grado para una situación particular.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y responda las preguntas.

Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números en un cuadrado, de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales es la misma, y el número es llamado la “constante mágica”.

La Figura 1, muestra el cuadro mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía I.

¿Cuál es la constante mágica en esta situación?
Exponga en clase las diferentes formas de encontrar la constante mágica.

**Figura 1**
16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

2. Lea y realice las actividades.

La Figura 2 presenta un cuadro mágico, pero no hay números, sino operaciones representadas con las letras a, b y c.

Copie el cuadro mágico de la Figura 2 en el cuaderno y discuta con un compañero sobre el tipo de operaciones indicadas representadas con las letras a, b y c.
Escriba los números que sustituyen a las operaciones indicadas, si se cumple que la constante mágica es 90 y que la suma de a +b + c es 60.
Discuta en pareja las estrategias de solución para completar este cuadro mágico.
Encuentre otros números que sustituyan a las letras a, b y c que permiten formar otro distinto cuadro mágico.

**Figura 2**
a+b	a - (b+c)	a + c
a - (b-c)	a	a + (b-c)
a - c	a + b+ c	a - b

DesarrolloEditar

Nuevos conocimientosEditar

Una variable es una letra, por ejemplo: n, x, y, z que reserva un lugar para un número.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.

Revise los siguientes ejemplos.

Enunciado verbal	Expresión algebraica
Un número disminuido en 10 unidades	[math]\displaystyle{ x – 10 }[/math]
La edad de Marta dentro de 8 años	[math]\displaystyle{ m + 8 }[/math]
El perímetro de un rectángulo	[math]\displaystyle{ a + a + b + b }[/math]
Cinco veces un número aumentado en 15	[math]\displaystyle{ 5y + 15 }[/math]
El producto de dos números naturales consecutivos	[math]\displaystyle{ x *(x + 1) }[/math]
La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos	[[math]\displaystyle{ n^2 }[/math] + [math]\displaystyle{ (n +1)^2 }[/math]]

Represente con material concreto las expresiones algebraicas anteriores. Exponga sus resultados.

EcuacionesEditar

Es una afirmación matemática que utiliza un signo igual para establecer que dos expresiones representan el mismo número o son equivalentes. Una ecuación que contiene al menos una variable es una afirmación abierta. Por ejemplo, x + 10 = 40 no es verdadera o falsa, porque “x” no ha sido sustituida por un número.

Establezca el valor de verdad para la ecuación x + 32 = 104, sustituyendo el conjunto de números siguientes: {38, 42, 50, 62,72}. Exponga el resultado obtenido.

El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número. Por ejemplo, el inverso aditivo de 5 es – 5 y el inverso aditivo de – 8 es 8. La suma de un número y su inverso aditivo es cero. Ejemplo: (8) + (– 8) = 0.

El ejemplo siguiente sirve de guía. ¿Qué valor tiene b en la siguiente ecuación?

b + 10 – 80 = 144

Solución: b + 10 + (–10) + (+80) – 80 = 144 – 10 + 80, se concluye que: b = 214

Comprobación: 214 +10 – 80 = 144, por lo tanto, la afirmación es verdadera: 144 = 144

El recíproco de un número a se escribe 1/a. Por ejemplo, el recíproco de 5 es 1/5. El recíproco de 1/10 es 10. Si se multiplica un número por su recíproco se obtiene 1.

Por ejemplo: (5) (1/5) = 1 o (x) * (1/x) = 1.

El ejemplo siguiente sirve de guía para resolver una ecuación. ¿Qué valor tiene b? 6b = 30. Aplique el recíproco de ambos lados de la igualdad: 6b * (1/6) = 30 * (1/6)

Esto es: b = 30/6 = 5. Por lo tanto, la afirmación es verdadera: 6 (5) = 30.

CierreEditar

Ejercicios del temaEditar

Nivel: Conocimiento y recuerdo. Secuencias y procedimientosEditar

1. Escriba una expresión algebraica para los siguientes enunciados.

(a) 7 más que n

(b) a t se le quitan 4

(c) m disminuido en 5

(d) 6 más que un número

(e) la diferencia de un número y 9

(f) el producto de 2 números aumentado en 10

(g) la suma de dos números al cuadrado

2. Determine el valor de verdad de las siguientes ecuaciones.

a) z + 34 = 187 para el conjunto {150, 151, 152,153}

b) 28 = t – 10 para el conjunto {18, 28, 38, 48}

3. Resuelva y verifique:

(a) x + (157- 29) = 342

(b) 92 = 5k + 67

(c) (56 + 87) - 126b = 17

(d) 394 - 138x = 256

(e) 165 = 25n – 85

(f) 183 = 3y + (265 – 99)

4. Plantee las ecuaciones necesarias para encontrar el valor reservado x, y, n.

En el cuadro mágico de la Figura 3, la suma de los números que aparecen en cada fila, columna o diagonal es la misma.

**Figura 3**
x	2	14
12	9	y
n	16	7

Nivel: Comprensión. Organiza y relaciona la informaciónEditar

5. Lea y resuelva las siguientes situaciones.

Una comunidad aumentó en 5,689 personas el año anterior, haciendo un total de 157,743 personas actualmente. Resuelva la ecuación p + 5,689 = 157,743 para determinar la población antes del aumento.
Una avícola reporta que se entregaron 2,575 huevos para la venta en una semana y quedaron sin vender 425 huevos en mal estado. Resuelva la ecuación h– 2,575 = 425 para determinar la cantidad total de huevos producidos en esa semana.
La asistencia de aficionados a un partido de futbol en Cobán el miércoles fue de 679 personas menos que la asistencia del domingo. Si la asistencia del miércoles fue de 1,685 personas, resuelva la ecuación d – 679 = 1,685 para encontrar la asistencia del domingo.

Nivel: Análisis. Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimientoEditar

6. Escriba una expresión algebraica a partir de cada enunciado verbal, plantee y resuelva las ecuaciones.

Tomás tiene un puesto de “tiro al blanco” en la feria. Para este juego tiene 16 pequeñas pelotas, la mayoría de ellas se guardan en cantidades iguales en 2 cajas del mismo tamaño y las otras 6 quedan sueltas. Escriba una ecuación para esta situación y luego determine la cantidad máxima de pelotas dentro de cada caja.
En el aula de 1ero. básico hay cuatro mujeres más que hombres. ¿Cuántas mujeres y hombres hay, si en total son 30?
Si las ventas mensuales de un almacén de electrodomésticos se multiplican por 9 y aumenta en Q 1,345.00, alcanzaría su meta anual de Q 60,295.00. Plantee una ecuación y resuélvalo para determinar el monto de las ventas mensuales.

Nivel: Aplicación del conocimiento para tomar decisionesEditar

7. Encuentre que la diferencia entre los ingresos semanales de Ricardo y Elena es de Q 80.00, se sabe que la suma de sus ingresos es Q 560.00. Elena es la que gana más. Responda, ¿Se sabe cuánto gana cada uno?

8. Revise y concluya sobre la forma en la que sucede el crecimiento.

Suma del 1, primer número impar 1 = 1

Suma de los 2 primeros números impares 1 + 3 = 4 =

Suma de los 3 primeros números impares 1 + 3 + 5 = 9 =

Suma de los 4 primeros números impares 1 + 3+ 5 + 7 = 16 =

Escriba una expresión algebraica para encontrar la suma de los 100 primeros números impares. Encuentre la suma de los primeros 100 números impares.

9. Lea.

La caloría es una unidad de medida de calor que sirve para medir la energía que el cuerpo consume o asimila de la comida.

Una nutricionista dice que, para mantener el peso, se deben gastar 15 calorías por libra de peso al día. Para subir una libra se debe comer 3,500 calorías adicionales. Para bajar una libra utiliza 3,500 calorías adicionales.

**Figura 1**
Calorías consumidas
Actividad	Calorías/min
Correr	14
Bicicleta	11
Nadar	9

Resuelva.

Un atleta pesa 129 libras. Resuelva si subirá o bajará de peso en una semana, si ingiere 15 calorías por libra de peso al día y realiza las siguientes actividades: corre 45 minutos 5 veces a la semana; por las mañanas, nada 35 minutos 3 veces a la semana; y corre en bicicleta 3 veces por semana durante 50 minutos. El domingo come tamales y agrega 2,245 calorías.

Resultados a los ejercicios del temaEditar

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema 1 con esta tabla.

InicioEditar

La constante mágica en el cuadro de Durero es 34.
Conclusión: a+b+c = 60
Si se suma todas las operaciones indicadas de la última fila, se determina que: (a-c) + (a+b+c) + (a-b) = 90.

Resultado: 3a = 90 y a = 30.

(Una generalidad de este cuadro es que cualquier suma en columna, fila o diagonal es 90. Así que existen diversas formas de encontrar la solución.)

Se elige la 2da columna y se razona: sí es a=30 y a+b+c es 60, entonces: a – (b+c) = 0.

Razonamientos posibles: a – (b+c) = 0, esto significa que b+c es 30, por lo tanto, b es 20 y c es 10.

Conclusión: que a es mayor que b, y esta mayor que c.

Respuesta sugerida: un cuadro mágico se puede construir con los números: 15,10, 5.

CierreEditar

Ejercicios del tema

Conocimiento y recuerdo.

Secuencias y procedimientos

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas: 1. (a) 7+n, (b) t – 4), (c) m -5, (d) 6 + x (e) x – 9, (f) xy + 10 (g) (a +b)2 2. El valor de verdad es z = 153
El valor de verdad es t = 38 3. Al resolver y verificar se obtiene que: (a) x = 214, (b) k = 5, (c) b = 1, (d) x = 1, (e) n = 10 y (f) y = 9 3. En el cuadro mágico la constante es 27 y se determina que x = 11, y = 6 y n = 4.

Comprensión

Organiza y relaciona la información

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable, una ecuación y una operación.

La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

5. Respuestas:

1. p = 152,054,
2. h = 3,000
2. d = 2364

AnálisisEditar

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento

6. Respuestas:

(1) x = 5, (2) x = 15, (3) x = 13,

(4) n = 6550

Aplicación del conocimiento para tomar decisiones

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que los anteriores niveles trascendieron debido a un estímulo. (Que le permite actuar con dominio del conocimiento de números, relaciones entre expresión algebraica, operación de suma, resta, multiplicación y división en ecuaciones básicas y potencia al cuadrado.)

Respuestas:

7. Elena gana: Q 320.00 y Ricardo: Q 240.00

8. Se razona que se deben sumar 50 números impares.

Si se asocia el número impar a una variable esto es: n = 50. Se concluye que cada suma creciente es un cuadrado: 1,4,9,16, 25, 36…

Por lo tanto, la suma es n *n o también [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] = (50)(50) = 2,500

9. Luego de la comprensión de la lectura, plantea igualdades, efectúa procedimientos aritméticos y luego concluye que el atleta baja una libra.