Tema 2. Teoría de números

Inicio

Indicadores de logro

1. Resuelve situaciones que involucren múltiplos y divisores con números naturales.
2. Emplea el mínimo común múltiplo mcm y el mínimo común divisor MCD para resolver situaciones cotidianas.

Todas las actividades de este tema son para que usted realice. Si tiene oportunidad reúnase con otros docentes y compartan. Se recomienda aplicarlas con sus estudiantes del ciclo básico.

1. Lea y resuelva.

El festival

Para el festival del instituto se deben acomodar, en filas, 40 sillas para los invitados. La señora de limpieza dice que hay 8 maneras diferentes para acomodar las sillas de manera rectangular.

• ¿Cuáles son las 8 maneras diferentes de acomodar las 40 sillas?
• Responda en el cuaderno y comparta las soluciones con sus compañeros.
  Con la operación: 9x10-6x5, ¿también se puede calcular? Expliquen cómo se puede pensar de otras formas el arreglo de la figura 1

Figura 1

Más tarde, para la entrega de premios, se reacomodaron todas las sillas en 6 filas:

• ¿Cuántas sillas se colocaron en cada fila?
• ¿Cuántas formas de acomodar las sillas habría si fueran 80? ¿Y si fueran 100?

2. Lea, resuelva y exponga.

• En un supermercado tienen que cambiar las ruedas de sus 129 carros. Ya han puesto 342 ruedas. ¿Cuántas ruedas les quedan por poner, si cada carrito tiene 4 ruedas?
• En una bodega hay 87 litros de jugo de limón y 51 litros de agua. Para hacer limonada se mezclan el jugo de limón y el agua en una botella de 2 litros de capacidad. ¿Cuántas botellas se llenarán en total?

Desarrollo

Nuevos conocimientos

El producto de dos números enteros es un múltiplo de cada uno de ellos. Los múltiplos de un número se caracterizan por ser infinitos. Cuando se multiplica dos o más números para formar un producto, a cada uno se llama un factor o divisor del producto. Los factores o divisores de un número son finitos. Los múltiplos de un número se pueden encontrar multiplicando por 0,1, 2, 3, 4… etcétera (son infinitos). El 0 es múltiplo de todos los números naturales.

1. Encuentre 5 números que sean divisores de 270, si 18*15= 270. Escríbalos en el cuaderno.

Número primo y número compuesto

El número 7 tiene exactamente dos factores, 1 y 7. Cualquier número que tenga exactamente dos factores 1 y él mismo, se llama número primo. A cualquier número entero mayor que 1 y con más de dos factores o divisores se les llama número compuesto. El número 1 tiene un solo factor, por lo que no es primo ni compuesto.

2. Complete la tabla para encontrar el valor mínimo de n que dé un número compuesto en 6n+1.

n	0	1	2	3	4	5	6
6n+1	1

Potencia y exponente

Un producto en donde los divisores son idénticos se llama potencia de ese factor. Los exponentes se usan para escribir potencias en forma corta. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. Para mostrar los factores de un número que se escribió usando exponentes, se escribe el número en forma desarrollada, también conocida como forma factorizada.

• Si 16=2*2*2*2= 24, ¿De cuántas formas diferentes puede escribir 256 y 81 en forma de una potencia? 24

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 250 & 2 \\ 125 & 5 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 300 & 2 \\ 150 & 2 \\ 75 & 3 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5\\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ 250 = 2 x 5^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ 300 = 2^2 x 3 x 5^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ '''M.C.D.''' = 2 X 5^2 = 50 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math] [math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{array}{c|c} 30 & 2\\ 15 & 3\\ 3 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} }[/math]

[math]\displaystyle{ 18 = 3^2 x 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ 27 = 3^3 }[/math]

30 = 2 x 3 x 5

[math]\displaystyle{ '''M.C.D.''' = 3^3 x 5 x 2 = 27 x 5 x 2 = 270 }[/math]

Refuerce su aprendizaje consultando: https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/problemas/problemas-resueltos-aplicacion-mcm-MCD-minimocomun-multiplo-Maximo-Comun-Divisior.html

De los números al algebra
Escriba el MCD (el menor exponente) y mcm (el mayor exponente) de las expresiones algebraicas.
	Expresiones	MCD	mcm
00)	[math]\displaystyle{ x^3; 2x; 6x^2 }[/math]	x	[math]\displaystyle{ 6^3 }[/math]
0)	[math]\displaystyle{ 15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3 }[/math]	5xy	[math]\displaystyle{ 30x^3y^2 }[/math]
1)	[math]\displaystyle{ 3w^7x^2; 12w^2x^4; 6w^3x^3 }[/math]
2)	[math]\displaystyle{ 24r^9t^5; 8r^3t^6; 4r^6t^4 }[/math]
3)	[math]\displaystyle{ 12x^2yx^3; 18xy^2z; 24x^3yz^2 }[/math]

Refuerce su aprendizaje consultando: https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/2013/06/12/minimocomun-multiplo-de-monomios/

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo. Identifica y examina las situaciones

1. Encuentre todos los factores y cinco múltiplos de: 12, 55 y 120.

• Plantee ideas en el cuaderno y compare los resultados.

2. Responda cuántos números primos menores de 100 existen.

• Elabore una tabla donde anote todos los números de 1 a 100.
• Como 2 es primo, rodee y tache los múltiplos de 2.
• El 3 es primo, rodee y tache los múltiplos de 3 que no estén tachados.
• Repita el procedimiento hasta llegar a 100 y cuente cuántos rodeó.

3. Escriba como producto o como potencia según lo indique la expresión:

a) 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2

b) 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5

c) 11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11*11

d) 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2

e) n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n*n

f) a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a

• Trabaje en su cuaderno
• Elabore un cartel y explique los resultados.

Nivel: Comprensión. Organiza y relaciona la información

4. Complete el cuadro mágico que se muestra en la Figura 2, para ello se deben hallar los divisores de 216 (sin contar el 216). Elija otros 5 para completar el cuadrado mágico, sin repetir ninguno, de tal manera que el producto de tres factores en filas, columnas o diagonales sea siempre 216.

• Copie en el cuaderno el cuadro mágico de la Figura 2.
• Encuentre todos los factores de 216 y complete el cuadro mágico.
• Comparta los resultados con sus compañeros.

Figura 2

16	3	3
	6	36
12		0

5. Copie en su cuaderno la Tabla 1 y encuentre el MCD y mcm.

• Identifique y escriba la letra de la expresión según sus resultados. Explique.

Tabla 1

	Expresiones		MCD		mcm
a)	[math]\displaystyle{ x^3; 2x; 6x^2 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 6x^2y }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 42x^4y^5 }[/math]
b)	[math]\displaystyle{ 15x^2y; 5xy^2; 30x^3y^3 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 7x^2y^2 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 36x^5y^3 }[/math]
c)	[math]\displaystyle{ 21x^4y^2; 42x^2y^5; 7x^2y^3 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 15x^3y^6 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 90x^10y^11 }[/math]
d)	[math]\displaystyle{ 6x^4y^2; 36x^5y^3; 18x^2y }[/math]	()	[math]\displaystyle{ x }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 30x^3y^2 }[/math]
e)	[math]\displaystyle{ 90x^10y^8; 15x^6y^11; 45x^3y^6 }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 5xy }[/math]	()	[math]\displaystyle{ 6x^3 }[/math]

Nivel: Análisis. Ordena los datos y plantea estrategias

6. Trabaje en el cuaderno y comparta sus resultados.

• Los números 180 y 345 son múltiplos de 15, utilice este dato para escribir dos factores de cada uno de estos números.
• Para averiguar si el número 191 es primo o compuesto, ha hecho las divisiones de ese número por 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17, respectivamente. En ningún caso la división ha sido exacta. ¿Puede asegurar que el número 191 es primo?
• Compruebe también con los siguientes números: 541, 137, 1337.
• mUn grupo de excursionistas está formado por 72 chicos y 66 chicas. Si forma grupos iguales de chicos y chicas, ¿cuántos alumnos formarán cada grupo?

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.