Tema 4. Cuadrados y cubos algebraicos

Inicio

Indicadores de logro

1. Reconoce e interpreta los productos notables y la factorización de una suma o diferencia de cubos.
2. Identifica, factoriza y simplifica una expresión racional algebraica.

1. Lea.

Doña Toya es la dueña de un terreno de forma cuadrada de lado a y área [math]\displaystyle{ a^2 }[/math] figura 1a.

Don Carlos es su vecino y le ha comprado a doña Toya una parte de su terreno de lado [math]\displaystyle{ b }[/math] y superficie [math]\displaystyle{ b^2 }[/math], como se muestra en la Figura 1b. Doña Toya ha decidido que la parte de su terreno original que le ha quedado será utilizado para la siembra de árboles de aguacates, pero no sabe cuánto terreno le ha quedado. Su nieto Joel le presenta el arreglo que se muestra en la figura 1c para calcular el terreno que le ha quedado.

• Plantee una estrategia para ayudar con el cálculo de Joel.
• Escriba una expresión algebraica para el área de la Figura 1c.
• Explique si existe otra forma de expresar esta misma área.

• 

  1a

• 

  1b

• 

  1c

2. Lea y resuelva.

En la figura 2 se muestra lo que ha quedado de un prisma rectangular, cuando se retiran [math]\displaystyle{ n }[/math] cubos con un volumen de [math]\displaystyle{ x^3 }[/math].

• Observe y plantee una estrategia para escribir la expresión algebraica para el volumen total de la figura si estuviese completo.
• Plantee un binomio algebraico que exprese el volumen que ha quedado luego de retirar los cubos que hacen falta.
• ¿Cómo expresa el volumen que hace falta para completar el prisma rectangular?
• Compare los resultados y explique los hallazgos.

Figura 2

Desarrollo

Expresión racional

Los productos siguientes están relacionados de la siguiente forma:

Diferencia de cuadrados:[math]\displaystyle{ (x – y) (x + y) = x^2 - y^2 }[/math]

Suma de cubos: [math]\displaystyle{ (x + y) (x^2 – xy + y^2) = x^3 + y^3 }[/math]

Diferencia de cubos: [math]\displaystyle{ (x – y) (x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 }[/math]

1. Observe que, al sumar los cubos se forman los prismas 1 y 2, en la figura 3.

Figura 3

El volumen del prisma 1 es [math]\displaystyle{ V_1 = ab (a – b) }[/math], y volumen del prisma 2 es [math]\displaystyle{ V_2= b^2(a- b). }[/math]

Entonces la suma de cubos es el volumen formado, menos los prismas 1 y [math]\displaystyle{ 2:x^3 + y^3 = a^2(a + b) – [ab (a – b) + b^2 (a – b)] }[/math], si factoriza [math]\displaystyle{ (a - b) }[/math] de la segunda expresión queda: [math]\displaystyle{ x^3 + y^3 = a^2(a + b) – [b (a - b) (a + b)] }[/math]; ahora factoriza [math]\displaystyle{ (a + b) }[/math] de toda la expresión y ordena para hallar:[math]\displaystyle{ (x + y) (x^2 – xy + y^2) = x^3 + y^3 }[/math].

2. Escriba una expresión algebraica para la diferencia de cubos, sume los prismas 1, 2 y 3 mostrados en la figura 4.

Figura 4

3. Lea.

Una expresión racional es el cociente de dos polinomios [math]\displaystyle{ \frac{x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} }[/math]

Como toda expresión racional indica una división, no se pueden sustituir las variables en el denominador con números que lo hagan igual a cero. Se puede simplificar una expresión racional cuando se factorizan, tanto el numerador como el denominador, y luego se elimina el factor [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

En la Figura 5 se muestra un rectángulo cuya área total es [math]\displaystyle{ x^2 + 2xy + y^2 }[/math] y se observa que un lado es [math]\displaystyle{ x + y }[/math]. Para hallar el lado que se desconoce, escribe el área del rectángulo como [math]\displaystyle{ A = a * b }[/math], luego sustituye los datos que conoce,[math]\displaystyle{ x^2 + 2xy + y^2 = (x + y) (a) }[/math], despeja [math]\displaystyle{ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y} }[/math], ahora factoriza [math]\displaystyle{ a = (x + y) \frac {(x+y)}{(x+y)} }[/math], simplifica el factor 1 para hallar la expresión del lado que no conoce [math]\displaystyle{ a = (x + y). }[/math]

Simplifique la fracción algebraica: [math]\displaystyle{ \frac {x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} }[/math]

Figura 5

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

1. Lea y resuelva.

En la bodega de la tienda de repuestos, La clavija, se han identificado los paquetes que se enviarán para el departamento de San Marcos, según se muestra en la figura 6.

• Escriba, como factor de dos polinomios, los volúmenes, si cada uno se expresa según se indica:

  [math]\displaystyle{ V_1 = x^3+\frac{1}{8}; V_2=64m^3-1000; V_3=t^3-\frac{S^3}{125}; V_4=\frac{27^r3}{64}+\frac{8t^3}{1331} }[/math]

Figura 6

2. Plantee soluciones.

Carlos es el auxiliar de bodega de la tienda de repuestos. Necesita calcular el volumen de la caja numerada con el 2 de la Figura 6, para saber si es posible que empaque un repuesto que enviará muy pronto. Él duda si la información que tiene es correcta.

Él sabe que la caja tiene forma de prisma rectangular recto con el área de la base expresada como [math]\displaystyle{ A_b = 4m^2 + 10m + 25 }[/math] y tiene forma de un cubo con lado [math]\displaystyle{ l = 8(2m - 5). }[/math]

• Plantee una estrategia para ayudar con la duda de Carlos.
• Encuentre la expresión de volumen, efectuando el producto: [math]\displaystyle{ V= A_b * l }[/math]/

Nivel: Comprensión

Organizar y relacionar la información

3. Lea y resuelva.

En casa de Jennifer se reúne la comunidad de aprendizaje de Matemática de su grado. Jennifer y otros amigos deciden ir a comprar una pizza a casa de doña Chonita. Cuando regresan se les ocurre la idea que nadie podrá comer pizza, si no expresan de forma algebraica el volumen de la caja, si el área de la base y la altura son las que se muestran en la figura 7.

• Plantee una estrategia para ayudar al grupo a comer pizza.
• Exprese el volumen de la caja de pizza como un binomio.

Figura 7

4. Plantee una estrategia para ayudar a César, si él aún no tiene una expresión algebraica que represente el lado de la caja.

César necesita enviar un regalo a su hermana que vive en Colombia, pero quiere ahorrar en envío y en el empaque, así decidió construir una caja que tenga forma de cubo. Ha planificado que las caras tengan un área de [math]\displaystyle{ A_b= m^2 – 16n^2 }[/math], para que tenga la capacidad que se muestra en la figura 8.

• Encuentre la expresión algebraica y explique cómo lo hizo.

Figura 8

Nivel: Análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

5. Lea y resuelva.

Uziel trabaja como operador de un montacargas. Estiba cuatro cajas.

Retira una caja de forma cúbica. Las cajas quedan como muestra la figura 9. Él se hace la pregunta: ¿Qué volumen representan las tres cajas restantes?

• Plantee una estrategia para ayudar con la duda de Uziel.
• Escriba una expresión algebraica para el volumen en la figura 9.
• Explique si existe otra forma de expresar ese mismo volumen.

Figura 9

6. Resuelva.

En la comunidad se venderán refrescos naturales en recipientes de cartón que tienen forma de prisma rectangular recto, con volumen: [math]\displaystyle{ V= x^3 + 27 y^3 }[/math], con el área de su base:[math]\displaystyle{ Ab = x^3 + 3x^2y + 2xy^2 +6y^3 }[/math]. La figura No. 10 representa el modelo de recipiente.

• Escriba una expresión algebraica para la altura del recipiente.
• ¿Cuál será la altura, en pulgadas, del empaque si x =1 e y = 2?
• Proponga y verifique las soluciones con otros valores de x e y.

Figura 10

Nivel: Utilización

Utilizar la información para resolver los planteamientos

7. Lea y resuelva.

En la figura 11 se muestra el isométrico de un edificio que propone Felipe, un estudiante de Arquitectura.

• Sume los prismas 2, 3 y 4 y reste el prisma 1, factorice y reduzca términos. Explique los hallazgos.
• ¿Cuál es el volumen total del isométrico al restar el prisma 1 escrito como producto?

Figura 11

8. Lea y determine.

En una tienda de regalos se tienen que construir tres cajas (Figura 12) para enviar los regalos de los quince años de Rosita. El volumen total de las tres cajas es [math]\displaystyle{ V=x^2(2x + y) – 9x (2x + y) + 20(2x + y) }[/math] con la misma altura expresada con el polinomio [math]\displaystyle{ a = 2x^2 + xy – 8x – 4y. }[/math]

• ¿Cuál es la expresión que representa el área de la base de cada caja?
• Según los hallazgos, ¿qué variables son necesarias para calcular el área superficial? ¿Existe alguna restricción para el volumen de las cajas? Explique.

Figura 12

Orientaciones generales de las actividades de inicio y cierre del tema

Solución de las actividades de la fase de inicio

• El arreglo es: [math]\displaystyle{ (a+b)(a-b)= a^2 - b^2. }[/math]
• Multiplique sus aristas [math]\displaystyle{ V=a^2b. }[/math]
• El volumen que queda es [math]\displaystyle{ V= a^2b – 26x^3. }[/math]
• El volumen que falta es [math]\displaystyle{ 26x^3 }[/math].

Solución de las actividades de fase de cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Identificar y examinar las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas: 1. [math]\displaystyle{ V_1= (x+ 1/_2) (x^2 – x/2 + 1/_4) }[/math]

[math]\displaystyle{ V_2= (4m -10) (16m^2 + 40m + 100) }[/math]

[math]\displaystyle{ V_3=t\frac{S}{5} t^2+\frac{St}{5}+\frac{S^2}{25} }[/math]

[math]\displaystyle{ V_4=\frac({3r}{4})+\frac{2t}{11} (\frac{9r^2}{16}-\frac{6rt}{44}\frac{4t^2}{121}) }[/math]

2. El volumen se calcula como [math]\displaystyle{ V=A_sl }[/math]

[math]\displaystyle{ V= 8(4m^2 + 10m +25) (2m-5) }[/math] al efectuar el producto queda:

[math]\displaystyle{ V=64m^3 – 1000 }[/math], es correcto.

Respuestas del nivel de comprensión

Organizar y relacionar la información

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación. La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Respuestas:

3. Utilice: [math]\displaystyle{ V=A_sl }[/math]

El volumen será [math]\displaystyle{ V=8 a^3-27 }[/math]

4. Despeje: [math]\displaystyle{ l =\frac{V}{A_s} }[/math]

Sustituya, factorice y simplifique:

[math]\displaystyle{ l = m^2-4mn+16m^2/ m – 4n }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Ordenar los datos y plantear estrategias

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Respuestas:

5. Sume el volumen de las cajas:

[math]\displaystyle{ V=b^2(b-a) +ab(b-a) +a^2(b-a) }[/math]

Factorice para expresar como: [math]\displaystyle{ V=(b-a) (a^2 + ab + b^2) }[/math]

Este producto notable es: [math]\displaystyle{ b^3 – a^3 }[/math]

6. Utilice la expresión [math]\displaystyle{ l =\frac{V}{A_s} }[/math]

Sustituya, factorice y simplifique

[math]\displaystyle{ a =\frac{x^2 -3xy +9y^2}{x^2+2y^2} }[/math]

Sustituya el valor de x e y: a=31/9

Respuestas del nivel de utilización

Plantear una estrategia utilizando la información para resolver los problemas

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

7. Agrupe las expresiones de los prismas 2, 3 y 4 y factorice “a”. Luego factorice [math]\displaystyle{ (a-b) }[/math] hasta llegar a la expresión [math]\displaystyle{ a^3 – b^3. }[/math]

Al factorizar queda como: [math]\displaystyle{ (a-b) (a^2 +ab –b^2). }[/math]

8. Utilice la expresión: [math]\displaystyle{ A_b= \frac{V}{I} }[/math]

Sustituya, factorice y simplifique: [math]\displaystyle{ A_b=\frac{(x-5)}{3} }[/math]

Se concluye que las bases de las cajas deben ser iguales.

Un equipo de personas que trabajan en forma colaborativa para producir en los estudiantes mejores resultados académicos.

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.