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Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Modelos matemáticos y trigonometría/Tema 3. Teorema de Pitágoras grados sexagesimales y radianes (editar)

Revisión del 22:40 8 jul 2020

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*¿Es posible escribir una expresión que relacione el área de los cuadrados en este arreglo?
 
*¿Es posible escribir una expresión que relacione el área de los cuadrados en este arreglo?
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<center>'''Figura 2'''</center>
 
<center>'''Figura 2'''</center>
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<math>9+ 16 = 25</math>
 
<math>9+ 16 = 25</math>
 
<math>25 = 25</math>
 
<math>25 = 25</math>
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<center>'''Figura 3'''</center>
 
<center>'''Figura 3'''</center>
   Línea 67: Línea 67:  
Vea más sobre demostración de teorema de Pitágoras: https://www.youtube.com/watch?v=XfVWlO3sRw0
 
Vea más sobre demostración de teorema de Pitágoras: https://www.youtube.com/watch?v=XfVWlO3sRw0
 
</div>
 
</div>
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático'''
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El teorema de Pitágoras es útil para encontrar un lado desconocido en un triángulo rectángulo. Debe tomarse en cuenta que solo es correcto aplicar este teorema en este tipo de triángulo. En la figura del lado izquierdo, el valor de c es:<math>c = \sqrt {8^2 + 15^2}=17</math>; para la figura
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del lado derecho, el valor de c es: <math>c=\sqrt {9^2 + 12^2}= 15</math>. Tome en cuenta que para encontrar el lado c se aplicó raíz cuadrada a la suma de los cuadrados de los catetos
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</div>
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Un '''radián''' es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo. La Figura 1 muestra que un radián tiene un valor en grados de: <math>57.29578°</math> y que, en la circunferencia, hay <math>6</math> radianes exactos. En toda la circunferencia hay <math>6.3 radianes =360° = 2\pi</math>. La Tabla 1 muestra la conversión de grados a radianes. Observe que los ángulos en radianes se expresan en términos de pi <math>(\pi)</math>.
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a. Trace en el cuaderno una circunferencia de 10 centímetros de radio. Luego mida en ella un ángulo estándar de 3 radianes. (Recuerde que 1 radián es 57.3°).
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[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 5 pag(15.1).jpg|300px|center]]
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<center>'''Figura 5'''</center>
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{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto;"
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|+ style="caption-side:bottom;"|'''Tabla 1'''
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|-
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|Grados
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|Radianas
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|-
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>360°</math>
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2\pi</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>180°</math>
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>2\pi</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>90°</math>
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>\pi/_2</math>
 +
|-
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>60°</math>
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>\pi/_3</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>45°</math>
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>\pi/_4</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>30°</math>
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>\pi/_6</math>
 +
|-
 +
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>57.3°</math>
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|style="background:#fff; width:50%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>1 rad</math>
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|}
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b. Trace otra circunferencia de 10 centímetros de radio. Luego, mida en ella un ángulo estándar de <math>\pi/3</math> y <math>\pi/2</math>. (Revise la Tabla 1 para guiarse).
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático'''
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a. Para trazar círculos utilice un compás. Para medir ángulos, use un transportador. <math>3 rad \approx 172°</math>. Recuerde aproximar porque el transportador solo mide ángulos exactos.
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b. Según la Tabla 1, <math>\pi/3=60° y pi/2=90°</math>.
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</div>
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==Cierre==
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===Ejercicios del tema===
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[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]]
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1. Plantee una estrategia para calcular la longitud del alambre utilizado. Explique.
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<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
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La Figura 6 muestra un poste del tendido eléctrico. Se estima que un alambre de 17m ha sido colocado para tierra física a una altura de 15 m. ¿A qué distancia se afianzó sobre el suelo?
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</div>
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[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 5 pag(15.2).jpg|300px|cente]]
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático'''
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El teorema de Pitágoras es útil para encontrar cualquier lado que falte en un triángulo rectángulo. La condición principal es que se conozcan dos lados del triángulo rectángulo.
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1. Para determinar la longitud del alambre, identifique que se trata de la hipotenusa (diagonal). Para ello, aplique Pitágoras:<math>d=\sqrt{17^2-15^2}=8m </math> Importante: la hipotenusa siempre será mayor que los dos catetos. Así se sabe que los cálculos son correctos. Para calcular un cateto siempre se resta el cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del cateto conocido.
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</div>
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2. Lea y resuelva.
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<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
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Javier tiene plantado un árbol de aguacates en el patio de su casa. Un día soleado, observa cómo la longitud de la sombra que proyecta ese árbol cambia luego de que transcurren cinco horas. En la Figura 7, se muestran las observaciones que hizo.
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</div>
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[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 5 pag(16).jpg|300px|center]]
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a. Dibuje, en el cuaderno, el triángulo rectángulo <math>\Delta ABD</math> e indique sus dimensiones.
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b. Plantee una estrategia para calcular los valores de '''x''' y '''z'''. Explique los hallazgos.
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático'''
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El teorema de Pitágoras puede utilizarse en ocasiones como herramienta para solucionar situaciones problemáticas.
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a. El triángulo <math>\Delta ABD</math> tiene como hipotenusa a <math>17</math> y catetos <math>8</math> y <math>(9+x)</math>.
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Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo <math>\Delta ABD</math>, queda: <math>172 = 82 + (9+x)^2</math> . Se forma una ecuación cuadrática que simplificada queda:<math>x^2 + 18x -144 = 0</math>, con soluciones <math>x=6</math> y <math>x=-24</math>. El valor de x será 6 por tratarse de una situación de la vida real. Al aplicar Pitágoras al triángulo <math>\Delta ACD</math>, queda: <math>z^2 = 8^2 + 6^2</math> , entonces <math>z=10</math>.
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</div>
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3. Lea y realice las actividades.
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<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
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En la clase de Martín hicieron una práctica de medición de ángulos. Los resultados se muestran en la tabla 2.
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Los datos vacíos son porque Martín tiene duda de cómo convertir a la medida que se solicita.
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</div>
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{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
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|+ style="caption-side:bottom;"|'''Tabla 2'''
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|-
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|style="background:#fde8f1; width:45%; border: 2px  solid #ec008d;"|Ángulo en grados sexagesimales
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>15°</math>
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>120.5°</math>
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|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|-
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|style="background:#fde8f1; width:45%; border: 2px  solid #ec008d;"|Ángulo en radianes
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|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>0.5 rad</math>
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|
 +
|style="background:#fff; width:15%; border: 2px  solid #ec008d;"|<math>{\pi}{7}</math>
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|}
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a. Plantee una estrategia que facilite la conversión de ángulos.
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b. Complete la tabla con los valores que aún le faltan a Martín. Explique los hallazgos.
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<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
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Vea más sobre conversión de radianes a grados: https://www.youtube.com/watch?v=-AR42voyFuQ
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</div>
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático de la actividad 3'''
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a. Cuando una rotación (ángulo) se indica en radianes, la palabra radianes es opcional y a menudo se omite. Así, cuando no se indica ninguna unidad para una rotación, se entiende que esta se da en radiantes. Para convertir entre grados y radianes, se puede utilizar la noción de multiplicar por <math>1:\frac{1 revolución}{1 revolución}=1=\frac{2\pi radianes}{260°}</math>
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b. Para convertir <math>0.5</math> radián a grados queda: <math>0.5 rad *\frac{180°}{\ rad}=28.6°</math>>. Al convertir <math>120.5°</math> a radianes queda: <math>120.5º =\frac{\pi rad}{180°}=2-1</math> rad. Al convertir: <math>15° = 0.26</math> radianes, queda <math>\pi/7=25.7°</math>.
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</div>
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<div style="background-color:#fde8f1;  width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
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Sebastián es un deportista, su especialidad es el ciclismo. El profesor de matemática le pregunta: ¿sabe usted cúal es la velocidad a la que giran las ruedas de la bicicleta cuando viaja? A lo que Sebastián pregunta: ¿qué necesito para saber cúal es la velocidad a la que giran? El profesor le responde: necesita saber cuántas vueltas (revoluciones) da en determinado tiempo.
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Haciendo un experimento, Sebastián encuentra que gira 15 revoluciones en 0.5 minutos.
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</div>
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[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 5 pag(17).jpg|300px|center]]
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<center>'''Figura 8'''</center>
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a. ¿Qué ángulo formó la rueda si una revolución es igual a <math>2\pi</math>?
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b. Si la velocidad angular es <math>ω =\frac{\Phi}{t}</math> ,donde φ es el ángulo que se forma según las revoluciones que se han hecho. Explique los resultados.
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<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px  solid #ec008d;">
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'''Razonamiento matemático'''
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La velocidad angular se define como la cantidad de rotación por unidad de tiempo. La letra griega ω (omega) se utiliza por lo general para la velocidad angular. De esta manera, la velocidad angular se define como: <math>ω =\frac{\Phi}{t}</math>, donde φ es el ángulo que se forma según las
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revoluciones que se han hecho.
Carlos Mulul
nuke, Administradores
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