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Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Igualdades, desigualdades y funciones/Tema 6. Funciones de segundo grado (editar)
Revisión del 02:47 8 jul 2020
, hace 3 añossin resumen de edición
2. Lea.
2. Lea.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
En la función cuadrática <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>, el signo del coeficiente '''''a''''' indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, el término independiente '''''b''''' indica el corte sobre el eje '''Y'''. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela a eje '''Y'''. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad, <math>V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})] '''Vea la figura 3.'''
En la función cuadrática <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math>, el signo del coeficiente '''''a''''' indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, el término independiente '''''b''''' indica el corte sobre el eje '''Y'''. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela a eje '''Y'''. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad, <math>V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})]</math> '''Vea la figura 3.'''
</div>
</div>
Vea más sobre concavidad en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=kfQaG9VbDdI
Vea más sobre concavidad en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=kfQaG9VbDdI
</div>
</div>
==Cierre==
===Ejercicios del tema===
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]]
===Nivel: Análisis===
1. Complete, en el cuaderno, la tabla 2 para las coordenadas de f(x); luego, grafique la parábola en los ejes coordenados.
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Tabla 2'''
|-
|style="background:#fde8f1; border: 2px solid #ec008d;"|<math>f (x) = 3x^2 + 12x + 11</math
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|x
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|y
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|-4
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|-3
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|-2
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|-1
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|
|-
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|0
|style="background:#fff; width:25%; border: 2px solid #ec008d;"|
|}
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Vea más sobre gráfica de funciones cuadráticas en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=6JQw45Y.O3Fs
</div>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Para evaluar una función, resulta muy útil usar paréntesis para indicar las sustituciones y evitar errores provocados por los signos. Para graficar, es importante observar las coordenadas que se muestran para determinar la escala que se utiliza, mostrando de manera clara la función. Las coordenadas son: (-4,11); (-3,2); (-2,-1); (-1,2); (0,11).
</div>
2. Complete la tabla 3 en el cuaderno utilizando la información mostrada en la gráfica 1.
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Tabla 3'''
|-
|style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|Concavidad
|style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|Vértice
|style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|Punto de corte eje x
|style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|Punto de corte eje y
|style="background:#ec008d; width:20%; border: 2px solid #ec008d; color:#fff;"|Eje de simetría
|-
|style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|Hacia abajo
|style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>V(x,y)</math>
|style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>x_1=? x_2=?</math>
|style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>P(0, ?)</math>
|style="background:#fff; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|<math>x = ?</math>
|}
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(29).jpg|300px|center]]
<center>'''Gráfica 1'''</center>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Para identificar las características de una función cuadrática, primero debe determinarse la concavidad, esta indica si la función abre hacia abajo (-) o abre hacia arriba (+). Esto determina si el vértice es un mínimo (-) o un máximo (+), los cortes en el eje X y el corte en el eje Y, para terminar el eje de simetría que divide en dos la función cuadrática. La información de la gráfica es: cóncava hacia abajo, <math>V(-1,7)</math> máximo; <math>x_1=-3, x_2=1</math>; corte en eje Y <math>P (0,5)</math>; eje de simetría en <math>X=-1</math>.
</div>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Vea más sobre análisis de la función cuadrática en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=E6ysFJEI.yE
</div>
===Nivel: Utilización===
3. Lea y resuelva.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
La figura 5 muestra la trayectoria que sigue la pelota al ser golpeada por el jugador; esta describe una parábola hasta llegar al suelo. La función cuadrática <math>h(t)=-16t^2+42t+10</math> describe la trayectoria de la pelota, donde t es el tiempo en segundos y h(t) es la altura que alcanza en pies.
</div>
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(30.2).jpg|300px|center]]
<center>'''Figura 5'''</center>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Una de las ecuaciones que describe el movimiento en la vida real es el tiro parabólico, donde interviene desplazamiento horizontal y vertical durante un intervalo de tiempo. Para determinar la altura en dos segundos, es suficiente solo con evaluar en ese tiempo: las soluciones son: h (2) = 30 pies, es cóncava debido al signo negativo del coeficiente a=-16.
</div>
Si la pelota alcanza su altura máxima en el punto B en dos segundos, determine esta altura en pies.
*Explique por qué la curva es cóncava hacia abajo.
*Trace la curva suave, en el cuaderno, sobre un plano cartesiano donde el eje de simetría sea x=2 y el vértice (2,30) y corta al eje Y en (0,10).
4. Lea y resuelva.
Los delfines de la gráfica saltan y forman una ecuación modelo que describe una trayectoria parabólica. La función <math>f(x)=-x^2+6x+12</math> describe la trayectoria donde x es el tiempo en el arie y f(x) la altura máxima que alcanza en pies.
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(30.1).jpg|300px|center]]
*Plantee una estrategia para encontrar la altura máxima que alcanza en un salto el delfín y en qué tiempo lo hace.
*Encuentre el vértice de la función cuadrática.
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
El vértice de una función cuadrática representa el punto máximo o punto mínimo según la concavidad de la función. Las coordenadas del vértice muestran información de las variables según la situación. Para determinar el vértice de una función, se utiliza la expresión: <math>V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})]</math> donde a y b son los coeficientes de la función.
Al determinar el vértice de la función <math>a=-1</math> y <math>b=6</math>, queda: <math>V (3,21)</math>; significa que la altura máxima es 21 pies en el tiempo, que es de tres segundos.
</div>
5. Analice y resuelva.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Si se dispone de 40 m de alambre para rodear un jardín de forma rectangular donde se van a plantar rosales en un parque público, ¿cuáles deben ser las dimensiones del jardín para que la superficie cubierta con rosales resulte la máxima posible?
</div>
*Construya una tabla que muestre las superficie del jardín en función del largo con los valores 0 a 20 m a partir de la función cuadrática <math>S(x)=-x^2+20x.</math>
*Explique los hallazgos.
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Construir una tabla es una estrategia que contribuye al análisis y facilita graficar una función. La gráfica de una función es útil para observar el comportamiento de una función e identificar información útil para la solución de problemas.
En esta situación, por facilidad las sustituciones pueden hacerse de <math>4</math> en <math>4<math> para <math>S(x)</math>. Las soluciones son: <math>(0,0); (4,64) ;(8,96) ;(10,100) ;(14,84); (18,36); (20,0)</math>. Se observa que el máximo está en <math>(10,100)</math>; se interpreta, entonces, que el largo máximo es 10 m para una máxima área de <math>100 m^2</math>. La gráfica es cóncava hacia abajo y muestra que tiene un máximo en el vértice.
</div>
*Ubique, en un sistema de pares ordendos (x,y), los valores de la tabla anterior y compruebe la forma cuadrática de la función S(x).
*En la gráfica, ubique el vértice e interprete la información útil para la solución de la situación.
6. Lea y explique.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
En el centro de salud de la aldea Llanos del Pinal en Quetzaltenango, se estima que la rapidez de crecimiento por mes (y) de un niño, en su etapa de desarrollo, está relacionada con su peso actual en libras (x) a través de la función: y = x(21-x), donde x solo toma valores entre 0 y 21. Los médicos necesitan calcular qué peso (x) presenta la máxima rapidez de crecimiento (y).
</div>
*Simplifique la función para expresarla en forma cuadrática.
*Determine si la función es concava hacia arriba o abajo e interprete esta información.
*Encuentre el vértice de la función.
*Explique cómo se intepretan las coordenadas del vértice de la función.
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Simplificar una función facilita el trabajo de análisis e interpretación de sus características.
El signo del coeficiente de la variable con exponente 2 determina la orientación de la concavidad, sabiendo esto se puede identificar el vértice como un máximo o como un mínimo. Al utilizar la expresión <math>V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})]</math> donde a=-1 y b=21, se determina que el vértice está en (10.5, 110.25); entonces, la máxima rapidez de crecimiento está en 10.5 libras.
</div>
[[Categoría:Matemáticas]]
[[Categoría:Básico]]