Tema 6. Funciones de segundo grado

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Indicadores de logro

1. Determina las características de una función cuadrática.
2. Resuelve diversas situaciones aplicando las funciones cuadráticas.

1. Lea y resuelva.

Berenice tiene una casa de x metros de ancho y [math]\displaystyle{ 18 }[/math] metros de largo, tal como se muestra en la figura 1. El terreno está dividido en dos regiones: el área de las habitaciones es [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] y el área de patio es de [math]\displaystyle{ 77 }[/math] metros cuadrados.

Figura 1

• Plantee una estrategia para encontrar el valor de x que cumpla con las condiciones de la figura 1.
• Encuentre el o los valores de x para las dimensiones del terreno.
• Explique los hallazgos.

2. Lea y exponga los resultados.

La figura 2 ilustra ejemplos de trayectorias parabólicas en el deporte de atletismo.

• En un cartel, dibuje tres ejemplos similares con otros deportes o situaciones cotidianas donde se describan trayectorias parabólicas. Explique los resultados a sus compañeros.

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Figura 2

Razonamiento matemático

Cuando el área de un cuadrilátero está compuesta por otros cuadriláteros, existe una relación de igualdad entre la suma de todos los cuadriláteros que lo forman y el área total (base por altura). La ecuación cuadrática que se genera a partir de igualar el área interior con el producto de sus dimensiones es [math]\displaystyle{ x^2 -18x +77=0 }[/math] con soluciones [math]\displaystyle{ x_1=11 y x_2=7 }[/math], entonces el terreno de la casa tiene dos formas posibles.

Razonamiento matemático

Todos los movimientos que están relacionados con lanzamientos generan una parábola al desplazarse en el espacio, debido al efecto que la gravedad tiene en ellos, tal como el tiro de una pelota de basquetbol, el clavado en una piscina o el lanzamiento de una piedra al aire.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

La gráfica de una función de segundo grado se le llama parábola. La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación y = f(x)= x2. La tabla 1 establece los valores de las funciones, vea que el rango (los valores de y, o salida) se repiten y esto trae como consecuencia que la parábola tenga una forma parecida a una U.

1. Complete en el cuaderno la siguiente tabla 1.

Tabla 1

Función		Valor en X	Notación en f(x)	Valores en f(x)
[math]\displaystyle{ f (x) = x^2 }[/math]		[math]\displaystyle{ x= -4, 0, 4 }[/math]	[math]\displaystyle{ f(-4), f(0), f(4) }[/math]	[math]\displaystyle{ f(x)= 16, 0 , 16 }[/math]
A)	[math]\displaystyle{ f (x) = x^2 + x }[/math]	[math]\displaystyle{ x= -3, 1/2, 2 }[/math]
B)	[math]\displaystyle{ f (x) = x^2 - 3 }[/math]	[math]\displaystyle{ x= -2, 0, 2 }[/math]

Razonamiento matemático

Cuando se evalúa una función cuadrática, es muy importante ser cuidadoso con el exponente y los signos de los valores e identificar los signos de la función. Al evaluar las funciones queda: A) [math]\displaystyle{ f(-3)=6 }[/math]; [math]\displaystyle{ f(1/_2)=0 }[/math]; [math]\displaystyle{ f(2)=6 }[/math] B) [math]\displaystyle{ f(-2)=-7 }[/math]; [math]\displaystyle{ f(0)=-3 }[/math]; [math]\displaystyle{ f(2)=-7. }[/math]

2. Lea.

En la función cuadrática [math]\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx + c }[/math], el signo del coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo, el término independiente b indica el corte sobre el eje Y. El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela a eje Y. El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad, [math]\displaystyle{ V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})] }[/math] Vea la figura 3.

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  Es cóncava hacia arriba.

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  Es cóncava hacia abajo.

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Figura 3

Vea más sobre concavidad en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=kfQaG9VbDdI

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Análisis

1. Complete, en el cuaderno, la tabla 2 para las coordenadas de f(x); luego, grafique la parábola en los ejes coordenados.

Tabla 2

[math]\displaystyle{ f (x) = 3x^2 + 12x + 11 }[/math]
x	y
-4
-3
-2
-1
0

Vea más sobre gráfica de funciones cuadráticas en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=6JQw45Y.O3Fs

Razonamiento matemático

Para evaluar una función, resulta muy útil usar paréntesis para indicar las sustituciones y evitar errores provocados por los signos. Para graficar, es importante observar las coordenadas que se muestran para determinar la escala que se utiliza, mostrando de manera clara la función. Las coordenadas son: (-4,11); (-3,2); (-2,-1); (-1,2); (0,11).

2. Complete la tabla 3 en el cuaderno utilizando la información mostrada en la gráfica 1.

Tabla 3

Concavidad	Vértice	Punto de corte eje x	Punto de corte eje y	Eje de simetría
Hacia abajo	[math]\displaystyle{ V(x,y) }[/math]	[math]\displaystyle{ x_1=? x_2=? }[/math]	[math]\displaystyle{ P(0, ?) }[/math]	[math]\displaystyle{ x = ? }[/math]

Gráfica 1

Razonamiento matemático

Para identificar las características de una función cuadrática, primero debe determinarse la concavidad, esta indica si la función abre hacia abajo (-) o abre hacia arriba (+). Esto determina si el vértice es un mínimo (-) o un máximo (+), los cortes en el eje X y el corte en el eje Y, para terminar el eje de simetría que divide en dos la función cuadrática. La información de la gráfica es: cóncava hacia abajo, [math]\displaystyle{ V(-1,7) }[/math] máximo; [math]\displaystyle{ x_1=-3, x_2=1 }[/math]; corte en eje Y [math]\displaystyle{ P (0,5) }[/math]; eje de simetría en [math]\displaystyle{ X=-1 }[/math].

Vea más sobre análisis de la función cuadrática en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=E6ysFJEI.yE

Nivel: Utilización

3. Lea y resuelva.

La figura 5 muestra la trayectoria que sigue la pelota al ser golpeada por el jugador; esta describe una parábola hasta llegar al suelo. La función cuadrática [math]\displaystyle{ h(t)=-16t^2+42t+10 }[/math] describe la trayectoria de la pelota, donde t es el tiempo en segundos y h(t) es la altura que alcanza en pies.

Figura 5

Razonamiento matemático

Una de las ecuaciones que describe el movimiento en la vida real es el tiro parabólico, donde interviene desplazamiento horizontal y vertical durante un intervalo de tiempo. Para determinar la altura en dos segundos, es suficiente solo con evaluar en ese tiempo: las soluciones son: h (2) = 30 pies, es cóncava debido al signo negativo del coeficiente a=-16.

Si la pelota alcanza su altura máxima en el punto B en dos segundos, determine esta altura en pies.

• Explique por qué la curva es cóncava hacia abajo.
• Trace la curva suave, en el cuaderno, sobre un plano cartesiano donde el eje de simetría sea x=2 y el vértice (2,30) y corta al eje Y en (0,10).

4. Lea y resuelva.

Los delfines de la gráfica saltan y forman una ecuación modelo que describe una trayectoria parabólica. La función [math]\displaystyle{ f(x)=-x^2+6x+12 }[/math] describe la trayectoria donde x es el tiempo en el arie y f(x) la altura máxima que alcanza en pies.

• Plantee una estrategia para encontrar la altura máxima que alcanza en un salto el delfín y en qué tiempo lo hace.
• Encuentre el vértice de la función cuadrática.

Razonamiento matemático

El vértice de una función cuadrática representa el punto máximo o punto mínimo según la concavidad de la función. Las coordenadas del vértice muestran información de las variables según la situación. Para determinar el vértice de una función, se utiliza la expresión: [math]\displaystyle{ V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})] }[/math] donde a y b son los coeficientes de la función.

Al determinar el vértice de la función [math]\displaystyle{ a=-1 }[/math] y [math]\displaystyle{ b=6 }[/math], queda: [math]\displaystyle{ V (3,21) }[/math]; significa que la altura máxima es 21 pies en el tiempo, que es de tres segundos.

5. Analice y resuelva.

Si se dispone de 40 m de alambre para rodear un jardín de forma rectangular donde se van a plantar rosales en un parque público, ¿cuáles deben ser las dimensiones del jardín para que la superficie cubierta con rosales resulte la máxima posible?

• Construya una tabla que muestre las superficie del jardín en función del largo con los valores 0 a 20 m a partir de la función cuadrática [math]\displaystyle{ S(x)=-x^2+20x. }[/math]
• Explique los hallazgos.

Razonamiento matemático

Construir una tabla es una estrategia que contribuye al análisis y facilita graficar una función. La gráfica de una función es útil para observar el comportamiento de una función e identificar información útil para la solución de problemas.

En esta situación, por facilidad las sustituciones pueden hacerse de [math]\displaystyle{ 4 }[/math] en [math]\displaystyle{ 4 }[/math] para [math]\displaystyle{ S(x) }[/math]. Las soluciones son: [math]\displaystyle{ (0,0); (4,64) ;(8,96) ;(10,100) ;(14,84); (18,36); (20,0) }[/math]. Se observa que el máximo está en [math]\displaystyle{ (10,100) }[/math]; se interpreta, entonces, que el largo máximo es 10 m para una máxima área de [math]\displaystyle{ 100 m^2 }[/math]. La gráfica es cóncava hacia abajo y muestra que tiene un máximo en el vértice.

• Ubique, en un sistema de pares ordendos (x,y), los valores de la tabla anterior y compruebe la forma cuadrática de la función S(x).
• En la gráfica, ubique el vértice e interprete la información útil para la solución de la situación.

6. Lea y explique.

En el centro de salud de la aldea Llanos del Pinal en Quetzaltenango, se estima que la rapidez de crecimiento por mes (y) de un niño, en su etapa de desarrollo, está relacionada con su peso actual en libras (x) a través de la función: y = x(21-x), donde x solo toma valores entre 0 y 21. Los médicos necesitan calcular qué peso (x) presenta la máxima rapidez de crecimiento (y).

• Simplifique la función para expresarla en forma cuadrática.
• Determine si la función es concava hacia arriba o abajo e interprete esta información.
• Encuentre el vértice de la función.
• Explique cómo se intepretan las coordenadas del vértice de la función.

Razonamiento matemático

Simplificar una función facilita el trabajo de análisis e interpretación de sus características.

El signo del coeficiente de la variable con exponente 2 determina la orientación de la concavidad, sabiendo esto se puede identificar el vértice como un máximo o como un mínimo. Al utilizar la expresión [math]\displaystyle{ V[(\frac{-b}{2a}, f\frac{-b}{2a})] }[/math] donde a=-1 y b=21, se determina que el vértice está en (10.5, 110.25); entonces, la máxima rapidez de crecimiento está en 10.5 libras.

Crecimiento o aumento en el orden físico, intelectual o moral.