Tema 5. Área de triángulos y cuadriláteros

Inicio

Indicadores de logro

1. Utiliza información de los polígonos regulares para determinar perímetros y áreas de figuras compuestas.

1. Lea. Resuelva y responda.

¿Cómo calcula el área de la estrella inscrita dentro del cuadro de la figura 1?

• Trace en una hoja y con un compás, un círculo de 10 cm de diámetro.
• Calcule el área del círculo.
• Divida el círculo, con un marcador, en cuatro partes iguales.
• Recorte las cuatro partes del círculo.
• Pegue en el cuaderno las partes del círculo, como la figura 1.
• ¿En cuántas partes queda dividido el diámetro del círculo en cada lado del cuadrado?
• ¿Cuál es el área de la estrella formada?

Figura 1

2. Lea, resuelva y exponga los resultados.

• Observe la figura 2 e identifique los triángulos que comparten la misma base.
• Mida la altura de cada uno de los triángulos que identifique.
• Responda las preguntas siguientes:
• ¿Cuántas unidades mide la base de todos los triángulos?
• ¿Cuántas unidades mide la altura de todos los triángulos?
• Dibuje en el cuaderno cinco triángulos diferentes que tengan la misma altura.

Figura 2

• Identifique la altura de los triángulos con un color distinto.

Un triángulo tiene tres alturas por lo que a cada vértice le corresponde una altura. La base de un triángulo puede ser cualquier lado y se sabe que la altura de un triángulo es la perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto.

• Dibuje en el cuaderno un triángulo que mida de base 15 cm y de altura 10 cm.
• Identifique con colores diferentes las tres alturas del triángulo.
• Intercambie cuadernos con los compañeros para comparar los diferentes dibujos.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

El área de una región es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir la región. La unidad cuadrada que se usa para medir el rectángulo es un [math]\displaystyle{ cm^2 }[/math] como se muestra en la figura 3, como se usan 12 unidades para cubrir el rectángulo su área será de [math]\displaystyle{ 12 cm^2 }[/math]. También se puede observar que hay 3 filas de cuatro cuadras por lo tanto el producto del largo por ancho será su área [math]\displaystyle{ 3*4=12 }[/math] [math]\displaystyle{ cm^2. }[/math]

Figura 3

1. Calcule el perímetro y área de un rectángulo cuya base de 2/4 y una altura de 2.5.

La fórmula para el área de un paralelogramo es similar a la del rectángulo. La longitud de un lado del paralelogramo se llama base (b). La longitud de una perpendicular entre un par de bases paralelas se llama altura (h). Cualquier paralelogramo se puede cortar en dos partes, y reacomodar estas de tal manera que formen un rectángulo: El área del paralelogramo es igual al área del rectángulo que resulta (Figura 4). Si la base [math]\displaystyle{ b=6cm }[/math] y la altura [math]\displaystyle{ h=10cm\lt /mat\gt el área del paralelogramo será de \lt math\gt 60 cm^2. }[/math]

Figura 4

• Calcule el perímetro y área de un paralelogramo de base 0.75 cm y altura 1/2 cm.

2. Lea.

Cualquier lado de un triángulo puede ser la base. La altura es la longitud de la perpendicular de la base al vértice. Al observar la figura 5, se identifica que dos triángulos congruentes pueden formar un paralelogramo, el área del triángulo debe ser la mitad del área del paralelogramo que tiene la misma base y altura.

Entonces [math]\displaystyle{ A=\frac {bh}{2} }[/math].

Un trapecio es un cuadrilátero con un par de lados paralelos llamados bases. Como dos trapecios pueden formar un paralelogramo, el área de uno de los trapecios es la mitad del área del paralelogramo resultante (figura 6),

Entonces el área del trapecio es [math]\displaystyle{ A=\frac {h(b_1, + b_2)}{2} }[/math],

Figura 5

Figura 6

• Calcule el área de un triángulo que tiene como base 10 cm y altura 5 cm.

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección resultados a los ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

1. Identifique y examine las situaciones.

Ludin es un constructor de piscinas y ha diseñado los modelos que se muestran en la figura 7. Él necesita construir una que ocupe el mayor espacio posible.

• Observe e identifique cada polígono en la figura 7, cuente cuántas unidades cuadras [math]\displaystyle{ (m^2) }[/math] de cada área.
• Explique sus resultados y las dificultades que encontró.
• ¿Cuál es el modelo que debe utilizarse para que ocupe la mayor y la menor área?

Figura 7

Melissa es estudiante de diseño en construcción, y ha diseñado una columna que sostendrá el puente que será construido para poder transitar sobre un rio que pasa su comodidad.

• Identifique los polígonos que componen el diseño de Melissa.
• Plantee una estrategia para calcular el área frontal de la columna.
• Calcule el área de la columna, utilizando la manera más fácil que ha identificado.

Figura 8

Nivel: Comprensión

2. Organice y relacione la información.

Menfis quiere pintar el frente del granero de su abuelo, hace un dibujo del área que necesita pintar (figura 9), quiere calcular cuánto material y dinero necesita para hacer el trabajo. Su abuelo le indica que [math]\displaystyle{ ¼ }[/math] de galón de pintura cubre [math]\displaystyle{ 20 m^2 }[/math] y cuesta [math]\displaystyle{ Q.17.50 }[/math] cada uno.

• Plantee una estrategia para ayudar al cálculo de Menfi.
• Calcule el área que debe pintar.
• Encuentre la cantidad de pintura y cuánto dinero necesita.

Figura 9

Carlos es agricultor y tiene un terreno de la forma que se presenta en la figura 10, en el área más pequeña siembra cebolla, en el mayor brócoli y en la tercera zanahoria.

• Defina y plantee una estrategia para calcular el espacio que ha sembrado cada vegetal.
• Calcule e identifique el área de cultivo para cada vegetal.

Figura 10

Nivel: Análisis

3. Ordene los datos y plantee estrategias.

Fátima elabora un mapa de la distribución de su casa. Ella sombreó el área que corresponde a la cocina y el comedor.

• Encuentre la expresión que representa el área que sombreó.
• Exprese el área de los dormitorios, la cual fue la que no sombreó.
• Calcule el área sombreada si a=3 metros y b=4 metros.

Figura 11

Paco está construyendo una caja sin tapadera y diseña el modelo que se muestra en a figura 12.

• Corte las esquinas de tamaño x de un cartón cuadrado de 10 pulgadas de lado.
• Plantee una estrategia para expresar el área que utilizará para formar la caja.
• Encuentre la expresión que representa el área que se utilizará para formar la caja.
• Calcule el área si se corta las esquinas de tamaño 4 pulgadas.
• Analice el comportamiento si cada vez se corta esquinas de tamaño mayor.

Figura 12

Nivel: Utilización

4. Plantee una estrategia utilizando la información para resolver los problemas.

En una finca se apartó un área para ganadería, en la figura 13 se ha sombreado el área que corresponde para este fin.

• Encuentre una expresión que represente el área de ganadería.
• Exprese el área mayor la cual se ha utilizado para cultivar maíz, si el largo de la finca es de 20 km.
• Calcule las áreas para ganadería y cultivo de maíz, si y=10 km, x=6 km y z=5 km.

Figura 13

Mario ha construido su casa según el diseño que se muestra en la figura 14. La parte que no está sombreada es la parte que aún falta por terminar.

• Encuentre una expresión para el área construida y otra para el área que aún falta por construir.
• Calcule el tamaño total del terreno donde construyó su casa si x=20 metros.
• Cuál es el área que ya construyó.
• Comparta sus resultados.

Figura 14

Respuestas a los ejercicios del tema

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

Inicio

Calcule el área de la estrella:

[math]\displaystyle{ A=102-\pi*52\cong 2.14 cm^2 }[/math]

Identifique la base y altura con dos unidades. Dibuje el triángulo e identifique que las alturas siempre serán del vértice y perpendicular al lado opuesto.

Cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

Identifica y examina las situaciones

En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas:

Calcule las áreas de los polígonos:

1. [math]\displaystyle{ 7*5=35 m^2; }[/math]
2. [math]\displaystyle{ 8*8-2*3-2*4=50 m^2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ 5*7=35 m^2; }[/math]
4. [math]\displaystyle{ (5*42)*2=20 m^2 }[/math]
5. [math]\displaystyle{ 4*6+\pi*22 = 36.6 m^2 }[/math]
6. [math]\displaystyle{ 55+10 65 m^2 }[/math]
7. [math]\displaystyle{ 6*11 – (2*10) ÷2 – (5*6) ÷ 2 = 41 m^2 }[/math]

Calcule el área frontal: [math]\displaystyle{ 10*3+(6*2) ÷2*2=48 cm^2 }[/math]

2. Comprensión: Organiza y relaciona la información.

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación.

La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática

Respuestas:

Calcule el área que se debe pintar: [math]\displaystyle{ 62 m^2 }[/math]

Dinero [math]\displaystyle{ Q.54.25 }[/math]

Calcule áreas de cultivo:

• Cebolla =[math]\displaystyle{ 15 cm^2; }[/math]
• Brócoli =[math]\displaystyle{ 60 cm^2; }[/math]
• Zanahoria =[math]\displaystyle{ 28.2 cm^2 }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

Ordena los datos y plantea estrategias.

Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Encuentre el área sombreada y la de cuartos. [math]\displaystyle{ As=a^2+b^2; }[/math] [math]\displaystyle{ Ac=ab+ab=2ab }[/math]

Calcule el área: [math]\displaystyle{ A=25 m^2 }[/math]

Encuentre el área de la caja: [math]\displaystyle{ A =36 m^2. }[/math]

A mayor tamaño de x, no es posible construir la caja.

Respuestas:

4. Utilización. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas.

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

Encuentre las expresiones para las áreas: [math]\displaystyle{ (y-z)x=xy-xz; (20-x)y+xz }[/math]

Calcule las áreas:

• Ganadería =[math]\displaystyle{ 30 m^2; }[/math]
• Maíz = [math]\displaystyle{ 170 m^2 }[/math]

Encuentre el área construida: [math]\displaystyle{ As =23x^2 }[/math]

Encuentre área no construida: [math]\displaystyle{ A= 13x^2 }[/math]

Calcule área total y área construida: [math]\displaystyle{ A = 14400 m^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ A = 9200 m^2 }[/math]

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.