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Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Igualdades, desigualdades y funciones/Tema 1. Sistemas de ecuaciones (editar)
Revisión del 05:31 7 jul 2020
, hace 3 años→Desarrollo
<math>\begin{Bmatrix}
<math>\begin{Bmatrix}
3x& + &2y& +& 100& =& 5x& \\
3x& + &2y& +& 100& =& 5x& \\
2x& + &3y& =& 4y& + &250 \end{Bmatrix} <math>
2x& + &3y& =& 4y& + &250 \end{Bmatrix}</math>
Al ordenarlo, se obtiene:
<math>\begin{Bmatrix}
-2x& + &2y& =& -100\\
+2y& - &y& =& 250 \end{Bmatrix}</math>
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: '''ax + by = c''', donde '''x''' e '''y''' son las incógnitas y los números a, b y c son conocidos.
</div>
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución. La forma de representar un sistema de dos ecuaciones lineales es:
<math>\begin{Bmatrix}
a_1x& + &b_1y& =&c_1\\
a_2x& + &b_2y& =&c_2 \end{Bmatrix}</math>
En el caso de las balanzas de Byron y Carmen, se establece una estrategia que permite determinar que una manzana tiene un peso de 200 gramos y una naranja tiene un peso de 150 gramos.
</div>
1. Lea y analice el siguiente ejemplo.
Para determinar el valor de x y y en el sistema de ecuaciones lineales
<math>\begin{Bmatrix}
(1) -2x& + &2y& =& -100\\
(2) +2y& - &y& =& 250 \end{Bmatrix}</math>
se debe realizar el siguiente procedimiento matemático:
1. En la ecuación (1) si x = 0, entonces el valor de y = - 50.
2. En la ecuación (1) si y = 0, entonces el valor de x = +50.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Este procedimiento permite encontrar dos parejas: (0, -50) y (50, 0) relacionadas con ec. (1).
</div>
3. En la ecuación (2) si x = 0, entonces el valor de y = -250.
4. En la ecuación (2) si y = 0, entonces el valor de x = 125.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Este procedimiento permite encontrar dos parejas: (0, -250) y (125, 0) relacionadas con ec. (2).
</div>
</div>
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|-
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|Pasa por los puntos:
|-
|style="background:#fde8f1; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|Recta 1
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|(0, - 50), (50, 0)
|-
|style="background:#fde8f1; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|Recta 2
|style="background:#fff; width:50%; border: 2px solid #ec008d;"|(0, -250) y (125, 0)
|}
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Revise el siguiente enlace para repasar las ecuaciones con dos variables: https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:linear-equations-graphs/x2f8bb11595b61c86:two-variable-linear-equations-intro/v/2-variable-linear-equations-graphs
</div>
Concluya que las dos rectas representan a una ecuación lineal de dos variables y que estas se cortan en el punto (200, 150), esta pareja ordenada es el conjunto solución del sistema. Vea la gráfica 1.
===Método gráfico===
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume de la siguiente forma:
*Se encuentran, para cada una de las ecuaciones de primer grado obtenidas, dos puntos cartesianos: (x, y).
*Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
*Si el sistema es compatible o consistente, las rectas se intersecan.
*El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales es el punto (x, y), donde las rectas se intersecan.
</div>
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(6).jpg|200px|center]]
==Cierre==
===Ejercicios del tema===
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono2.jpg|60px|right|link=]]
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Puede consultar las respuestas en la sección [[#respuestas41|respuestas para las actividades de cierre]]
</div>
===Nivel: Análisis===
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
1. Analice la siguiente situación.
La tía Marta repartió, entre sus tres sobrinos, nueve billetes que sumados dan 60 quetzales.
Ella recuerda que los billetes eran de Q.5.00 y Q.10.00, pero no sabe cuántos de Q.5.00 y Q10.00 repartió entre sus sobrinos.
</div>
*Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales para esta situación.
2. Analice el siguiente procedimiento matemático.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
¿Cuántos billetes son? Respuesta: 9 billetes, ¿De qué denominación son? Respuesta: de Q 5.00 y Q.10.00. Como son dos tipos diferentes de billetes, se asocia x billetes de Q.10.00, así como y con billetes de Q.5.00, que suman 9 billetes en total.
La ecuación (1) que representa esta situación es '''x + y = 9.'''
Los billetes suman Q.60.00, entonces se puede expresar que se tienen “x billetes de Q.10.00 y y billetes de Q.5.00, que suman Q 60.00”. La ecuación (2) que representa esta situación es: '''10x + 5y = 60'''
Se concluye que se forma un sistema de ecuaciones lineales:
<math>\begin{Bmatrix}
(1) x& + &y& =& 9\\
(2) 10x& + &5y& =& 60 \end{Bmatrix}</math>
</div>
3. Complete, en el cuaderno, la siguiente tabla para resolver el sistema de ecuaciones.
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|-
|style="background:#fde8f1; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|Ecuación de la recta (1)
|style="background:#fde8f1; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|Si x = 0, obtengo:
|style="background:#fde8f1; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|Si y = 0, obtengo:
|style="background:#fde8f1; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|Las parejas (x, y) formadas son:
|-
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|x + y = 9
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|y = 9
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|x = 9
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|(0, 9) y (9, 0)
|-
|style="background:#fde8f1; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|Ecuación de la recta (2)
|style="background:#fde8f1; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|Si x = 0, obtengo:
|style="background:#fde8f1; width:20%; border: 2px solid #ec008d;"|Si y = 0, obtengo:
|style="background:#fde8f1; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|Las parejas (x, y) formadas son:
|-
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|10x + 5 y = 60
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|5y = 60
y = 12
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|10x = 60
x = 6
|style="background:#fff; width:30%; border: 2px solid #ec008d;"|(0 ,12) y (6, 0)
|}
4. Utilice hojas de papel cuadriculado o papel milimetrado para trazar las rectas con las parejas (x, y) formadas.
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(7).jpg|200px|center]]
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Para trazar la recta (1) en el plano cartesiano, ubique los puntos (9, 0), (0, 9); luego, con un trazo suave y preciso, trace la línea que pasa por estos puntos.
De igual forma, para la recta (2), ubique los puntos (6, 0) y (0,12) en el plano; luego, trace la línea que pasa por estos puntos.
Observe que las rectas se cruzan en el punto (3, 6); por lo tanto, se concluye lo siguiente: “Tía Marta entregó a sus sobrinos tres billetes de Q.10.00 y seis de Q5.00, los cuales suman Q.60.00”.
Compruebe, en las ecuaciones (1) y (2), que (3,6) es la solución del sistema.
</div>
[[Categoría:Matemáticas]]
[[Categoría:Básico]]