Tema 1. Sistemas de ecuaciones

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Indicadores de logro

1. Reconoce un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.
2. Traza en el plano una igualdad lineal con dos variables.
3. Determina por el método gráfico el conjunto solución de un sistema de ecuaciones con dos variables.

Todas las actividades de este cuadernillo puede realizarlas solo o con otros compañeros docentes.

También puede aplicarlas con sus estudiantes del Ciclo Básico.

1. Lea y analice las siguientes situaciones.

La balanza que se muestra en la figura 1 tiene colocados bloques de diferente forma y peso en sus platos. Necesito que la balanza se mantenga en equilibrio.

2. Responda: ¿Cuál es el peso del bloque que tiene forma de rectángulo?

Figura 1

3. Observe la figura 2 que representa una balanza en equilibrio. Responda: ¿Qué peso tiene cada bloque rectangular?

Figura 2

En las anteriores situaciones, el término equilibrio indica que hay una igualdad. La primera situación se puede escribir de la siguiente forma: 4 (100) + 2 (50) = 2 (100) + 50 + x.

En la segunda situación, la ecuación se puede escribir de la forma: 500 + 2x = 250 + 3x, observe que x es la expresión que identifica a un rectángulo.

¿Qué valor debe tener x para que la balanza esté en equilibrio?

4. Plantee, en el cuaderno, esta situación de equilibrio. Complete las balanzas que se muestran en la figura 3.

Byron plantea la siguiente situación: Tres manzanas más dos naranjas más 100 gramos pesan lo mismo que cinco manzanas. Por otro lado, Carmen plantea la siguiente situación: dos manzanas más tres naranjas pesan lo mismo que cuatro naranjas más 250 gramos.

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Figura 3

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

En la tercera situación, se debe plantear una igualdad que incluya dos variables. Si se asigna la variable x a una manzana y la variable y a una naranja, se debe escribir un sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} 3x& + &2y& +& 100& =& 5x& \\ 2x& + &3y& =& 4y& + &250 \end{Bmatrix} }[/math]

Al ordenarlo, se obtiene:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} -2x& + &2y& =& -100\\ +2y& - &y& =& 250 \end{Bmatrix} }[/math]

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: ax + by = c, donde x e y son las incógnitas y los números a, b y c son conocidos.

Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución. La forma de representar un sistema de dos ecuaciones lineales es:

[math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} a_1x& + &b_1y& =&c_1\\ a_2x& + &b_2y& =&c_2 \end{Bmatrix} }[/math]

En el caso de las balanzas de Byron y Carmen, se establece una estrategia que permite determinar que una manzana tiene un peso de 200 gramos y una naranja tiene un peso de 150 gramos.

1. Lea y analice el siguiente ejemplo.

Para determinar el valor de x y y en el sistema de ecuaciones lineales [math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} (1) -2x& + &2y& =& -100\\ (2) +2y& - &y& =& 250 \end{Bmatrix} }[/math]

se debe realizar el siguiente procedimiento matemático:

1. En la ecuación (1) si x = 0, entonces el valor de y = - 50.

2. En la ecuación (1) si y = 0, entonces el valor de x = +50.

Este procedimiento permite encontrar dos parejas: (0, -50) y (50, 0) relacionadas con ec. (1).

3. En la ecuación (2) si x = 0, entonces el valor de y = -250.

4. En la ecuación (2) si y = 0, entonces el valor de x = 125.

Este procedimiento permite encontrar dos parejas: (0, -250) y (125, 0) relacionadas con ec. (2).

	Pasa por los puntos:
Recta 1	(0, - 50), (50, 0)
Recta 2	(0, -250) y (125, 0)

Revise el siguiente enlace para repasar las ecuaciones con dos variables: https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:linear-equations-graphs/x2f8bb11595b61c86:two-variable-linear-equations-intro/v/2-variable-linear-equations-graphs

Concluya que las dos rectas representan a una ecuación lineal de dos variables y que estas se cortan en el punto (200, 150), esta pareja ordenada es el conjunto solución del sistema. Vea la gráfica 1.

Método gráfico

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume de la siguiente forma:

• Se encuentran, para cada una de las ecuaciones de primer grado obtenidas, dos puntos cartesianos: (x, y).
• Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
• Si el sistema es compatible o consistente, las rectas se intersecan.
• El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales es el punto (x, y), donde las rectas se intersecan.

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Análisis

1. Analice la siguiente situación.

La tía Marta repartió, entre sus tres sobrinos, nueve billetes que sumados dan 60 quetzales.

Ella recuerda que los billetes eran de Q.5.00 y Q.10.00, pero no sabe cuántos de Q.5.00 y Q10.00 repartió entre sus sobrinos.

• Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones lineales para esta situación.

2. Analice el siguiente procedimiento matemático.

¿Cuántos billetes son? Respuesta: 9 billetes, ¿De qué denominación son? Respuesta: de Q 5.00 y Q.10.00. Como son dos tipos diferentes de billetes, se asocia x billetes de Q.10.00, así como y con billetes de Q.5.00, que suman 9 billetes en total.

La ecuación (1) que representa esta situación es x + y = 9.

Los billetes suman Q.60.00, entonces se puede expresar que se tienen “x billetes de Q.10.00 y y billetes de Q.5.00, que suman Q 60.00”. La ecuación (2) que representa esta situación es: 10x + 5y = 60

Se concluye que se forma un sistema de ecuaciones lineales: [math]\displaystyle{ \begin{Bmatrix} (1) x& + &y& =& 9\\ (2) 10x& + &5y& =& 60 \end{Bmatrix} }[/math]

3. Complete, en el cuaderno, la siguiente tabla para resolver el sistema de ecuaciones.

Ecuación de la recta (1)	Si x = 0, obtengo:	Si y = 0, obtengo:	Las parejas (x, y) formadas son:
x + y = 9	y = 9	x = 9	(0, 9) y (9, 0)
Ecuación de la recta (2)	Si x = 0, obtengo:	Si y = 0, obtengo:	Las parejas (x, y) formadas son:
10x + 5 y = 60	5y = 60 y = 12	10x = 60 x = 6	(0 ,12) y (6, 0)

4. Utilice hojas de papel cuadriculado o papel milimetrado para trazar las rectas con las parejas (x, y) formadas.

Razonamiento matemático

Para trazar la recta (1) en el plano cartesiano, ubique los puntos (9, 0), (0, 9); luego, con un trazo suave y preciso, trace la línea que pasa por estos puntos.

De igual forma, para la recta (2), ubique los puntos (6, 0) y (0,12) en el plano; luego, trace la línea que pasa por estos puntos.

Observe que las rectas se cruzan en el punto (3, 6); por lo tanto, se concluye lo siguiente: “Tía Marta entregó a sus sobrinos tres billetes de Q.10.00 y seis de Q5.00, los cuales suman Q.60.00”.

Compruebe, en las ecuaciones (1) y (2), que (3,6) es la solución del sistema.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.