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Serie Aprendo y enseño/Matemáticas/Igualdades, desigualdades y funciones/Tema 5. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado (editar)
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{{Título}}
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==Inicio==
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg|60px|right|link=]]
<div style="width:98%; border-style:dashed; border-color:#f599c1; margin:2px; padding:5px ">
'''Indicadores de logro'''
#Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
#Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.
</div>
'''1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.'''
*Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
*Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
*Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 1'''
|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 (1+2x)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 - x
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|4 (x + 1) - 1
|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + x
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 (x + 1)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|5 (1 + x) -2
|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|2 + (1+ 2x)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + 7x
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + 7x
|}
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
*Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
*Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.
</div>
2. Lea y resuelva las actividades.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.
</div>
*Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
*Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
*Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma <math>(x + b )^2 = 0</math>.
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(22).jpg|300px|center]]
<center>'''Figura 2'''</center>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: <math>x^2+4x+4=0</math>, y al factorizar se obtiene: <math>(x+2)^2=0</math>.
</div>
==Desarrollo==
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg|60px|right|link=]]
===Nuevos aprendizajes===
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.
</div>
1. Lea.
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de <math>616 cm^3</math>.
</div>
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(23).jpg|300px|center]]
<center>'''Figura 3'''</center>
*¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
*El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
*Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El <math>\pm</math> quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.
<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
</div>
2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.
<math>(x-8)(2x-8)(4)=616</math>; realice productos indicados e iguales a cero: <math>8x2 – 96x – 360 = 0</math>; factorice la ecuación cuadrática: <math>(x-15) (x+3)=0</math>; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones <math>x_1=15</math> <math>y x_2=-3</math>.
La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.
Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces
<math>x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)}</math>
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==Inicio==
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<div style="width:98%; border-style:dashed; border-color:#f599c1; margin:2px; padding:5px ">
'''Indicadores de logro'''
#Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
#Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.
</div>
'''1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.'''
*Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
*Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
*Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.
{|class="wikitable" style="width:50%; margin: 10px auto 10px auto; text-align:center;"
|+ style="caption-side:bottom;"|'''Figura 1'''
|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 (1+2x)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 - x
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|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + x
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 (x + 1)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|5 (1 + x) -2
|-
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|2 + (1+ 2x)
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + 7x
|style="background:#fff; width:33%; border: 2px solid #ec008d;"|3 + 7x
|}
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
*Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
*Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.
</div>
2. Lea y resuelva las actividades.
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.
</div>
*Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
*Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
*Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma <math>(x + b )^2 = 0</math>.
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(22).jpg|300px|center]]
<center>'''Figura 2'''</center>
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: <math>x^2+4x+4=0</math>, y al factorizar se obtiene: <math>(x+2)^2=0</math>.
</div>
==Desarrollo==
[[Archivo:Aprendo y Enseño Conjunto, Sistemas Númericos y Operaciones icono4.jpg|60px|right|link=]]
===Nuevos aprendizajes===
<div style="background-color:#fde8f1; width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto;">
Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.
</div>
1. Lea.
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px solid #ec008d;">
Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de <math>616 cm^3</math>.
</div>
[[Archivo:Aprendo y enseño - Matemáticas 4 pag(23).jpg|300px|center]]
<center>'''Figura 3'''</center>
*¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
<div style="width:83%; padding:10px; margin: 10px auto 10px auto; border: 2px dashed #ec008d;">
'''Razonamiento matemático'''
*El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
*Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El <math>\pm</math> quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.
<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
</div>
2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.
<math>(x-8)(2x-8)(4)=616</math>; realice productos indicados e iguales a cero: <math>8x2 – 96x – 360 = 0</math>; factorice la ecuación cuadrática: <math>(x-15) (x+3)=0</math>; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones <math>x_1=15</math> <math>y x_2=-3</math>.
La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.
Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces
<math>x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)}</math>