Tema 5. Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado

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Indicadores de logro

1. Resuelve ecuaciones igualando a cero un producto de factores.
2. Resuelve ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática o vieta.

1. Observe el cuadrado de la figura 1 con expresiones algebraicas.

• Si el número mágico de este cuadrado es 36, ¿cuál es el valor de x?
• Exponga la estrategia para hallar el valor de x.
• Sustituya cada expresión algebraica por el número que corresponde a cada casilla.

Figura 1

3 (1+2x)	3 - x	4 (x + 1) - 1
3 + x	3 (x + 1)	5 (1 + x) -2
2 + (1+ 2x)	3 + 7x	3 + 7x

Razonamiento matemático

• Un cuadrado mágico tiene esta característica: la suma de sus columnas horizontales y diagonales resultan en la misma cantidad. En la situación que se presenta se elige la ecuación más sencilla y se despeja x=3.
• Al sustituir en la ecuación, debe ser cuidadoso de tomar en cuenta los signos de agrupación y los signos de las cantidades. Al sustituir en las casillas del cuadrado mágico: primera fila: 21, 0 ,15; segunda fila: 6, 12, 18; tercera fila: 9, 23, 3.

2. Lea y resuelva las actividades.

Lorena ha diseñado el arreglo de piezas de barro que se muestra en la figura 2 para una de las paredes en su jardín.

• Establezca una ecuación cuadrática que represente este arreglo geométrico e igual a cero.
• Verifique si esta ecuación es un trinomio cuadrado perfecto.
• Escriba la ecuación cuadrática como un binomio de la forma [math]\displaystyle{ (x + b )^2 = 0 }[/math].

Figura 2

Razonamiento matemático

Al sumar las partes que forman una figura compuesta y cuyas dimensiones están indicadas, se forma un polinomio que representa el área total. Es posible expresar como una ecuación cuadrática al igualar a cero: [math]\displaystyle{ x^2+4x+4=0 }[/math], y al factorizar se obtiene: [math]\displaystyle{ (x+2)^2=0 }[/math].

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama forma estándar de la ecuación cuadrática.

1. Lea.

Una hoja de cartón rectangular se utiliza para construir una caja sin tapadera, cuyas dimensiones se muestran en la figura 3, y se requiere que el volumen de la caja sea de [math]\displaystyle{ 616 cm^3 }[/math].

Figura 3

• ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?

Razonamiento matemático

• El principio de los productos nulos: para cualquier un par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a= 0 o b=0, y si a=0 o b=0, entonces ab=0. Si se tiene una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, se puede resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores.
• Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver utilizando una expresión llamada fórmula cuadrática o Vieta, donde a es el coeficiente del término x2, b es el coeficiente del término x y el término independiente es c. El [math]\displaystyle{ \pm }[/math] quiere decidir que hay dos soluciones o dos raíces.

[math]\displaystyle{ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }[/math]

2. Encuentre el volumen multiplicando sus dimensiones.

[math]\displaystyle{ (x-8)(2x-8)(4)=616 }[/math]; realice productos indicados e iguales a cero: [math]\displaystyle{ 8x2 – 96x – 360 = 0 }[/math]; factorice la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ (x-15) (x+3)=0 }[/math]; iguale a cero cada factor: (x-15)=0 y (x+3)=0; despeje para hallar las soluciones [math]\displaystyle{ x_1=15 }[/math] [math]\displaystyle{ y x_2=-3 }[/math].

La solución factible es x=15 debido a que se trata de una situación real; por lo tanto, los dados serán ancho=15 cm y largo =30 cm.

Compruebe su respuesta utilizando la fórmula cuadrática: sustituya en fórmula cuadrática: a= 8; b=-96 y c= -360, entonces

[math]\displaystyle{ x=\frac{-96 \pm \sqrt{-96^2 - 4*(8)(-360)}}{2(8)} }[/math]

3. Resuelva. [math]\displaystyle{ 3u^2=18u-6 ; m(3m+1)=3; }[/math]

Vea más sobre solución de ecuaciones cuadráticas por factorización: https://www.youtube.com/watch?v=PTJx4W-lQbEO3Fs

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Análisis

1. Siga las instrucciones y complete la tabla en el cuaderno. A continuación, se presenta una serie de ecuaciones cuadráticas.

Ecuación cuadrática.		Escriba el método de solución.	Escriba la ecuación como un producto de factores.	Escriba soluciones de la ecuación.
[math]\displaystyle{ x^2 + 9x + 18 = 0 }[/math]		Factores igual a cero	[math]\displaystyle{ (x + 3) (x + 6) = 0. }[/math]	[math]\displaystyle{ x_1 = -3 }[/math] [math]\displaystyle{ x_2 = -6 }[/math]
a)	[math]\displaystyle{ 6x^2 - 7x = 10 }[/math]
b)	[math]\displaystyle{ 2x^2 - 7 = 3x }[/math]
c)	[math]\displaystyle{ x^2 = 8x }[/math]
d)	[math]\displaystyle{ x^2 - 6x + 4 = 0 }[/math]

Razonamiento matemático

La ecuación cuadrática tiene dos soluciones debido al exponente 2. Las soluciones pueden ser enteras o reales, y según la naturaleza de las raíces depende el método que se utilice en la solución. a) [math]\displaystyle{ x_1= 2; x_2= -5/6 }[/math] (factores); b) [math]\displaystyle{ x_1= 2.77; x_2= -1.27 }[/math] (fórmula); c) [math]\displaystyle{ x_1= -8; x_2= 0 }[/math] (factor), d) [math]\displaystyle{ x_1= 5.24; x_2= 0.76 }[/math] (fórmula).

2. Responda.

En la figura 4, se muestran las dimensiones de una tarjeta a la que se le hace una perforación de forma cuadrada de lado desconocido x. ¿Cuál es el área de la perforación en [math]\displaystyle{ cm^2 }[/math]?

Figura 4

• Plantee una estrategia para determinar el área de la perforación.
• Encuentre las soluciones para x aproximada a centésimas y calcule el área.
• Explique los hallazgos.

Razonamiento matemático

• El área de un cuadrilátero regular se obtiene multiplicando la base por la altura.
• Cuando se necesita hallar el área que queda al quitar un polígono del área de otro polígono, se calcula restando el área mayor menos el área menor.
• Para resolver una ecuación cuadrática es necesario despejar el trinomio cuadrático e igualarlo a cero. Al restar el área total de la tarjeta menos el área de la perforación queda [math]\displaystyle{ 80x^2 + 81x – 52 = 0. }[/math]
• Las soluciones son: [math]\displaystyle{ x1 \approx 0.45 }[/math] y [math]\displaystyle{ x^2 ≈ -1.46 }[/math]; para el área de la perforación, toma el valor positivo: [math]\displaystyle{ A= (0.45)^2=0.20 cm^2 }[/math].

3. Resuelva los cuestionamientos.

Ileana utiliza madera para fabricar una caja sin tapadera como se muestra en la figura 5; según se observa, la altura es de cuatro centímetros. Ella dice que el largo es dos veces el ancho y el volumen de [math]\displaystyle{ 616 cm^3 }[/math]. Si el ancho esta expresado como x-4, ¿cuáles son las dimensiones de la caja?

Figura 5

• Plantee una estrategia para determinar las dimensiones de la caja.
• Calcule las dimensiones de la caja.
• Explique los hallazgos.

Razonamiento matemático

• El volumen de un prisma rectangular es el producto de sus dimensiones (aristas), [math]\displaystyle{ V=a*b*c }[/math].
• En diferentes situaciones es muy importante interpretar del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.
  En el caso de la caja, el largo es [math]\displaystyle{ 2(x-4) }[/math], ya que el ancho es [math]\displaystyle{ (x-4) }[/math]. Para calcular el volumen, multiplique [math]\displaystyle{ V=4*2(x-4) *(x-4) }[/math]; entonces puede expresarse como: [math]\displaystyle{ 8(x-4)2=616 }[/math].
• El método de la raíz se utiliza para despejar ecuaciones cuadráticas de la forma [math]\displaystyle{ ax^2=k o a(x-h)^2=k }[/math], el cual consiste en despeje [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] y luego se encuentran las raíces cuadradas. Al aplicar este método, se sabe que: [math]\displaystyle{ x_1=12.77 y x_2 = -4.77 }[/math] y se calcula: [math]\displaystyle{ ancho = 8.77 }[/math] y el [math]\displaystyle{ largo=17.54 }[/math].

4. Lea y resuelva.

Cuando un objeto es lanzado hacia arriba o hacia abajo, la distancia que cae medido en metros y en t segundos está dada por [math]\displaystyle{ s=4.9t^2+v_ot }[/math]. En esta fórmula, [math]\displaystyle{ v_o }[/math] es la velocidad inicial. El edificio de Correos y Telégrafos es una de las contrucciones más famosas del Centro Histórico de la ciudad capital. Alguien lanza desde el punto más alto del arco de este edificio una pelota con velocidad de [math]\displaystyle{ 10 m/_s }[/math] y se sabe que su altura es aproximadamente de 10 metros.

• Plantee una estrategia para calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo.
• Calcule el tiempo que hace para caer.
• Explique los resultados.

Razonamiento matemático

En la vida real, se han propuesto modelos para describir el movimiento de los objetos, tanto de forma horizontal como vertical (caída libre).

Para utilizar los modelos, es necesario poner atención en los datos que la situación provee para luego sustituir e igualar a cero: [math]\displaystyle{ 4.9t^2 + 10t – 10 = 0 }[/math].

Para solucionar una ecuación cuadrática que tiene valores reales, resulta muy útil el método de fórmula cuadrática para encontrar: [math]\displaystyle{ x_1=0.74 y x_2=-2.78 }[/math]; según el análisis, el tiempo será [math]\displaystyle{ t=0.74 }[/math] segundos porque el tiempo no puede ser negativo.

5. Lea y resuelva.

Elizabeth construye una casa sobre un terreno de forma de triángulos rectángulos cuyas dimensiones se muestran en la figura 6.

Figura 6

• Plantee una estrategia para determinar las dimensiones del terreno.
• Escriba, en el cuaderno, una ecuación para encontrar los valores de x.
• Comparta los resultados.

Razonamiento matemático

La forma en que se relacionan los lados de un triángulo rectángulo es por medio del teorema de Pitágoras: [math]\displaystyle{ c^2= a^2 + b^2 }[/math], donde c es la hipotenusa (lado inclinado) y los catetos son a y b (están a [math]\displaystyle{ 90° }[/math] entre sí).

Hay situaciones en que se puede usar el teorema de Pitágoras, al aplicarlo queda:[math]\displaystyle{ (2x+8)^2=x^2+20^2 }[/math]; simplificando, se llega a la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ 3x^2+32x-336=0 }[/math]; simplificando, se llega a la ecuación cuadrática: [math]\displaystyle{ 3x^2+32x-336=0 }[/math]; al solucionarla, se llega a: [math]\displaystyle{ x_1=6.62; x_2=-17.18 }[/math]. Las dimensiones del terreno son: lado desconocido [math]\displaystyle{ x= 6.52 m }[/math], [math]\displaystyle{ hipotenusa = 21.04 m }[/math]

6. Lea y resuelva.

El espacio para colocar fotos en un portafotos tiene las dimensiones que se muestran en la figura 7. También se observa un marco uniforme de ancho x. Si el área total de marco del portafoto es 54 pulgadas cuadradas, ¿cuál es el ancho del marco?

Figura 7

• Plantee una estrategia para determinar el ancho del marco del portafotos.
• Escriba, en el cuaderno, una ecuación para encontrar los valores de x.
• Comparta los resultados.

Vea más sobre solución de problemas usando ecuaciones cuadráticas: https://www.youtube.com/watch?v=udwq50v7ECs

Razonamiento matemático

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura.

Cuando se necesita calcular la superficie que queda al quitar el área de un polígono de otro polígono, se resta el área mayor menos el área menor. Para calcular el área del marco: [math]\displaystyle{ (5+2x) (3.5+2x)-3.5*5=54 }[/math]; realizando productos e igualando a cero, queda: [math]\displaystyle{ 4x^2+17x-53=0 }[/math]; sustituya en fórmula cuadrática: [math]\displaystyle{ a= 4; b=17 y c=-53 }[/math], entonces [math]\displaystyle{ x_1 = 2.12 plg. }[/math] y [math]\displaystyle{ x_2 =-6.37 plg. }[/math]

Como se trata de una situación de la vida real, se utiliza el valor de [math]\displaystyle{ x=2.12plg }[/math].

Conjunto de sonidos articulados con que el hombre manifiesta lo que piensa o siente (DRAE). Facultad que sirve para establecer comunicación en un entorno social, se le considera como un instrumento del pensamiento para representar, categorizar y comprender la realidad, regular la conducta propia y de alguna manera, influir en los demás.