Tema 2. Desigualdades lineales

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1. Escribe una desigualdad lineal a partir de una situación planteada.
2. Plantea y resuelve una desigualdad lineal.

1. Lea la siguiente información.

Las desigualdades matemáticas están presentes todos los días en nuestro entorno. Piense en las siguientes situaciones: límites de velocidad en la autopista, pago mínimo por un jornal de trabajo, el número máximo de mensajes de texto que puede enviar desde el celular cada mes, el tiempo mínimo para llegar al centro de salud. Todas estas situaciones pueden ser representadas con una desigualdad matemática.

2. Analice los siguientes ejemplos relacionados con la recta numérica.

• Lorena tiene más de dos años.

Expresión matemática: L > 2

• La temperatura en Quetzaltenango por las mañanas es igual o menor a 2º Celsius.

Expresión matemática: Q ≤ 2

Razonamiento matemático

Las expresiones matemáticas en estos ejemplos implican una desigualdad o relación de orden.

Los símbolos de desigualdad son:

> Mayor que

< Menor que

≥ Mayor igual que

≤ Menor igual que

3. Escriba una expresión matemática y la representación geométrica para las siguientes situaciones.

a) En la comunidad, 40% de los habitantes tienen más de 45 ½ años.

b) El camión de Rafael tiene una capacidad para cargar una cantidad igual o menor de 73 arrobas de frijol.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Una desigualdad es una relación que establece una comparación entre dos cantidades. Una desigualdad puede tener infinitas soluciones. En el ejemplo “Lorena tiene más de dos años”, expresado con una desigualdad: L > 2, se concluye que Lorena puede tener 2 ½, 4, 5 ,8 o 10 años...

1. Analice la siguiente situación.

La tarifa de energía eléctrica en la comunidad de Andrés es de por lo menos Q.60.00 cada mes.

Notación de desigualdad: t ≥ 60

Notación de intervalo: (60, ∞)

Notación gráfica sobre la recta numérica:

Razonamiento matemático

Una expresión de este tipo se puede escribir en: notación de intervalo, notación de desigualdad y forma gráfica. Revise el siguiente sitio: Khan Academy.

El conjunto solución para una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen de la desigualdad un enunciado verdadero. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de las propiedades de las desigualdades:

2. Lea la siguiente situación.

El camión de Rafael pesa 1925 libras. La diferencia entre el peso del camión y el peso de su carga no debe ser inferior que 925 libras. Si la camioneta transporta cuatro cajas del mismo tamaño llenas de frijol, ¿cuánto debe pesar cada caja?

3. Realice el siguiente análisis.

Expresión verbal:

Peso del camión menos peso de las cuatro cajas de frijol no es menor que 913 libras.

Representación gráfica:

• 

  peso del camión 1925 libras

• 

  Cada caja tiene un peso, traducido al lenguaje algebraico de x.

Razonamiento matemático

En esta situación se puede escribir una desigualdad matemática de la forma: 1925 – 4x ≥ 925

¿Cuál es el conjunto solución de esta desigualdad?

Procedimiento matemático

Desigualdad matemática original	[math]\displaystyle{ 1925 – 4x \geq 925 }[/math]
Reste [math]\displaystyle{ 1925 }[/math] en ambos lados de la desigualdad. Conclusión: Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o resta un mismo número a cada miembro.	[math]\displaystyle{ 1925 – 1925 – 4x \geq 925 – 1925 - 4x \geq - 1000 }[/math]
Para despejar x, multiplique por [math]\displaystyle{ -1/_4 }[/math] en ambos lados de la desigualdad. Conclusión: Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.	[math]\displaystyle{ -\frac{1}{4}(-4x)\geq -\frac{1}{4} (-1000) }[/math] [math]\displaystyle{ x \leq 250 }[/math]
Al final, Rafael no podrá cargar cajas de frijol que superen las 250 libras. La solución está formada por todos los números positivos, con extremo en 0 hasta 250.	Notación de desigualdad: [math]\displaystyle{ 0 \lt x ≤ 250 }[/math] Notación de intervalo: [math]\displaystyle{ (0, 250) }[/math] Representación gráfica:

¿Qué más necesito saber?

Un intervalo abierto es, por ejemplo, la desigualdad: 2 < x < 5, la cual abarca todo número real x entre 2 y 5. Esta desigualdad se puede representar con paréntesis de esta forma: (2, 5), se lee como: “el conjunto de todos los puntos de una recta entre los extremos x = 2 y x = 5, pero sin incluirlos”.

Un intervalo cerrado es, por ejemplo, la desigualdad: 2 ≤ x ≤ 5 y puede denotarse con corchetes así: [2, 5], donde los corchetes indican que: es el conjunto de todos los puntos de una recta, incluyendo los puntos extremos. También es importante identificar intervalos semiabiertos como [a, b) y (a, b].

La doble desigualdad 2 < x ≤ 5 significa que x > 2 y x ≤ 5, es decir x está entre 2 y 5, incluyendo 5 pero excluyendo a 2. Esta desigualdad se puede representar como un intervalo (2, 5).

Razonamiento matemático

Revise el siguiente enlace para repasar desigualdades:https://www.youtube.com/watch?v=E3TRvxVusGU

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Comprensión

1. Lea la siguiente situación.

Alberto ha decidido comprar una moto. Estas tienen diferente precio dependiendo de la marca. La de mayor precio tiene un valor de Q.12,500.00 y la de menor precio, cuatro décimas partes de 12,500. Si x es el monto que debe reunir Alberto y esta entre estos extremos, escriba una desigualdad y su respectivo intervalo cerrado.

Respuesta

Debe utilizar corchetes porque los extremos están incluidos en el rango de precios que busca Alberto.

La notación para este caso se escribe: 5,000 ≤ x ≤ 12,500

2. Lea y analice cada una de las siguientes situaciones.

La siguiente figura ilustra tres recipientes de 12, x y 20 litros de capacidad. Escriba en el cuaderno una desigualdad que exprese el orden de los tres recipientes. El orden de la desigualdad debe escribirse en esta forma.

<

<

Ester es una exitosa vendedora de teléfonos móviles. Este fin de año, Ester ha calculado que le corresponde un bono especial por ventas igual o mayor a Q.850.00 y menor que Q.1,500.00. El dueño de la empresa le ha confirmado que le corresponde un bono de x quetzales en ese rango de valores. Escriba en el cuaderno la desigualdad correspondiente.

[math]\displaystyle{ \leq }[/math]

[math]\displaystyle{ \leq }[/math]

3. Responda, ¿cuánto puede pesar como máximo cada cajón para poder llevarlos en el camión?

Arturo tiene un camión que pesa 4,620 libras. Él sabe que la diferencia entre el peso del camión vacío el peso de la carga que transporte, no debe ser inferior que 1,350 libras.

Todos los sábados por las mañanas Don Fernando debe cargar diez cajas con manzana del mismo peso desde Chimaltenango a la ciudad.

• Complete el siguiente cuadro en el cuaderno con la desigualdad que resuelve esta situación.

Peso del camión	menos	10 cajas de manzanas		No es menor que 1350 libras.
	-		[math]\displaystyle{ \leq }[/math]

Verifique que cada caja de cajón debe ser menor o igual a 327 libras.

4. En el siguiente cuadro, se presenta una expresión matemática. Complete cada desigualdad en notación de intervalo o representación gráfica en el cuaderno.

• El ejemplo 0 sirve de guía.

Desigualdad	Desigualad equivalente	Representación gráfica	Notación de intervalo
Ejemplo 0 [math]\displaystyle{ x + 1 \lt - 2 }[/math] ¿Cómo se lee? El conjunto de valores de x que ha aumentado en una unidad son menores que menos dos.	Procedimiento: [math]\displaystyle{ x + 1 - 1 \lt - 2 -1 }[/math] [math]\displaystyle{ x \lt - 3 }[/math] Conclusión: El conjunto solución son todos los valores de x menores que menos 3.	Explicación: El conjunto solución incluye números reales desde el infinito hasta menos tres.	El signo menor que, <, está relacionado con un intervalo abierto. El intervalo es abierto desde el infinito hasta menos tres. [math]\displaystyle{ ( - \infty, -3) }[/math]
[math]\displaystyle{ 9+ - \frac{x}{3} \geq 4 - \frac{1}{2} x }[/math]	Procedimiento:	Explicación:	[math]\displaystyle{ [ - 6, + \infty) }[/math]
[math]\displaystyle{ 2x + 5 \lt 3x -7 }[/math]	Procedimiento:	Explicación:	Intervalo abierto:
[math]\displaystyle{ 4x \leq 6x - 8 }[/math]	Procedimiento:	Explicación:	Intervalo semiabierto:

5. Elija, del cuadro 2, la desigualdad que corresponde a cada enunciado del cuadro 1.

• Escriba, en el cuaderno, los resultados obtenidos. El ejemplo 0 sirve de guía.

Cuadro 1

No.	Expresión matemática
0	La velocidad mínima en una carretera de Jalapa es mayor que 40 km/h y menor o igual a 70 km/h.
1	Considere que P denota la edad de Pedro y M la edad de María y ambas edades suman a lo más 21 años.
2	El peso de Elena (e) y de su hermano Rafael, que es el doble del peso de su hermana Elena, es de más de 150 libras.
3	Ana se define como alguien mayor de 21 años, pero menor de 30 años.
4	El precio de un pan dulce debe ser mayor que Q.0.25 de quetzal y menor o igual que Q.0.75.
5	Ocho veces un número es menor o igual que 50.

Cuadro 2

No.	Notación
1	[math]\displaystyle{ 40 \lt v \leq 70 }[/math]
2
3
4
5

[math]\displaystyle{ Solución: (1)P+M \leq 21, (2) e + 2e \gt 150, (3) 21 \lt a \lt 30 (4) 0.25 \lt p \leq 0.75 (5) 8x \leq 50 }[/math]

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.

Destrezas fonológica que consiste en encontrar similitudes y diferencias entre los fonemas o sílabas que forman una palabra.

Conjunto de sonidos articulados con que el hombre manifiesta lo que piensa o siente (DRAE). Facultad que sirve para establecer comunicación en un entorno social, se le considera como un instrumento del pensamiento para representar, categorizar y comprender la realidad, regular la conducta propia y de alguna manera, influir en los demás.

En el continuo de coaching es el rol de ser muy directo y enseñar, mostrar, guiar, etc.