Tema 4. Desigualdades lineales

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Indicadores de logro

1. Identifica la variable independiente y dependiente en una función lineal.
2. Aplica el modelo de función lineal para explicar un evento específico del entorno.

1. Lea el siguiente planteamiento. Luego responda a las preguntas.

El propietario de una tienda de abarrotes contrata a Carlos para la tienda. El dueño le ofrece Q.200.00 de base más 25% de los ingresos de venta por cada semana trabajada.

La siguiente tabla registra el resultado obtenido en cuatro semanas completas de trabajo.

Semana de trabajo	Incentivo de base	Incentivo de 25% por ingresos	Total recibido por semana
1	200	100	300
2	200	200	400
3	200	300	500
4	200	400	600

• Si la secuencia de la tabla se mantiene, ¿qué cantidad recibe Carlos en la quinta semana?
• ¿Cuánto aumentan los ingresos de Carlos cada semana?, ¿es este aumento constante?
• Analice el siguiente diagrama y escriba tres conclusiones relevantes.

[math]\displaystyle{ f: Semanas \to ingreso }[/math]

Razonamiento matemático

La relación entre semana de trabajo y pago recibido es una función.

• En una función se reconocen dos tipos de variable: independiente y dependiente.
• En esta situación, la variable independiente son las semanas y la variable dependiente es el pago recibido.
• El dominio de esta función son las cuatro semanas de trabajo, y el contradominio o rango es el pago recibido.
• Las parejas ordenadas (x , y) de esta función son: { ( 1,300), (2,400), (3,500), (4,600) }.
• Observe que cada semana que pasa Carlos recibe un aumento constante e igual a 100.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Función lineal: es una relación donde el conjunto contradominio “y” (variable dependiente) cambia en función del conjunto dominio “x” (variable independiente) de forma constante y de la cual se obtiene una gráfica que se representa con una línea recta.

1. Observe la siguiente gráfica que representa el ingreso recibido por Carlos durante cuatro semanas.

• La función lineal se puede escribir de la siguiente forma: [math]\displaystyle{ y = mx + b. }[/math]
• La letra b se llama intercepto y es el punto donde la recta corta al eje y, en este caso y [math]\displaystyle{ = 200. }[/math]
• La letra m es la pendiente de la recta y se puede expresar como:
• [math]\displaystyle{ \Delta y }[/math] significa: “cambio en y”.
• [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] significa: “cambio en x”.

2. Responda la siguiente pregunta.

• ¿Cuál es el valor de pendiente en esta recta?
• La gráfica muestra una recta y se han localizado los puntos A, B, C y D sobre esta.
• ¿Cuál es la pendiente de esta recta?

La pendiente es 100 quetzales por semana. Para demostrarlo, asocie las parejas [math]\displaystyle{ (0, 200) }[/math] con [math]\displaystyle{ (x1,y1) }[/math] y [math]\displaystyle{ (4, 600) }[/math] con [math]\displaystyle{ (x2, y2) }[/math]. Ubique estas parejas en la gráfica y calcule [math]\displaystyle{ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{600-200}{4-0}=\frac{400}{4}=100 }[/math]

Para encontrar la pendiente, seleccione dos puntos; por ejemplo, [math]\displaystyle{ A (1,-3) }[/math] y [math]\displaystyle{ C (2, 1) }[/math]. Luego, calcule la pendiente:

[math]\displaystyle{ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{1- (-3)}{2-0}=\frac{4}{2}=2 }[/math]

La ecuacion de la recta [math]\displaystyle{ y = mx + b }[/math] para esta situación es: [math]\displaystyle{ y = 2x -3 }[/math]. Recuerde que b es la ordenada donde la recta corta al eje y, en este caso es [math]\displaystyle{ -3 }[/math].

3. Analice las siguientes situaciones.

Una organización que protege a las ballenas azules formuló la relación lineal entre la longitud L (en pies) y el peso esperado W (en toneladas) de las ballenas con la expresión: W=3.15L-192.

• Identifique la variable independiente y dependiente en esta situación.
• Elabore una gráfica en papel cuadriculado o milimetrado que muestre el comportamiento del peso hasta los 250 pies de largo.
• Según la gráfica, ¿qué longitud debe tener una ballena que pesa 250 toneladas?
• ¿Cuánto peso debe tener una ballena que mide 125 pies?

Razonamiento matemático

• La pendiente en esta ecuación es 3.15 y la recta corta al eje, y en la ordenada – 192.
• Si el peso de la ballena es 250, la longitud es 140 pies.
• Una ballena que mide 125 pies pesa 202 toneladas.

Vea más sobre ecuación punto pendiente: https://www.youtube.com/watch?v=bo3JsAc9CbE

Vea más sobre grafica de una función lineal: https://www.youtube.com/watch?v=AoZpzAoC1Qg

Un recipiente de forma cúbica se llena de agua por medio de una llave de paso con caudal constante, tal como que se presenta a continuación. Al inicio, el recipiente estaba con un nivel de agua igual a tres centímetros. A continuación, se abre la llave y se presentan dos momentos: en el primer momento, el nivel del agua sube seis centímetros en dos minutos; en el segundo momento, el nivel del agua sube a nueve centímetros en tres minutos.

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• 

4. En esta situación, responda.

• ¿El nivel del agua está en función del tiempo?
• ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente?

5. Complete la siguiente tabla hasta los cinco minutos.

• Trace la gráfica en papel milimetrado.

0 min	2 min	3 min	4 min	4 min
3 cm	6 cm	9 min

Razonamiento matemático

• La pendiente de la recta en este caso es 3 cm/minuto.
• Para determinar la pendiente, realice el siguiente cálculo:

[math]\displaystyle{ m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{9-6}{3-2}=\frac{3}{1}=3 }[/math]

• Considere otras parejas y compruebe que la pendiente es la misma.
• La ecuación de la recta para este caso es [math]\displaystyle{ y = mx + b }[/math], donde [math]\displaystyle{ b }[/math] es [math]\displaystyle{ 3 cm }[/math] cuando [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math], por lo tanto [math]\displaystyle{ y = 3x + 3 }[/math].

Cierre

Ejercicios del tema

1. Resuelva las siguientes situaciones.

Se enciende un incienso aromático de 250 milimetros (mm) de largo y por cada minuto trancurrido se queman uniformente 5 mm. Si el tiempo es t y la logitud es l:

• Complete la tabla en su cuaderno.

Tiempo t (min)	0	1	2	3	4
Longitud de la candera l (mm)	250	245

• ¿Qué logitud tendrá la candela luego de 10 minutos?
• Escriba la expresión de la recta que represente la relacion de l con t.
• Trace la gráfica de la función.

Razonamiento matemático

• La pendiente en este caso se manifiesta cuando el incienso se quema cinco milímetros por cada minuto.
• La situación describe una pendiente negativa, debido a que el incienso aromático disminuye 5 mm de largo cada minuto.
• Cuando la pendiente de una función es negativa, representa diminución o decrecimiento. En esta situación, la relación de longitud y tiempo se expresa como: L= 250 – 5t.

Vea más sobre solución de problemas usando función lineal: https://www.youtube.com/watch?v=7av0wVoARIA

Un atleta que se está preparando para participar de una maratón ha registrado en su último entrenamiento las velocidades (en km/h) en cada una de las cinco horas que realizó su práctica. Los registros se observan en la gráfica v – t.

• ¿En qué intervalo de tiempo mantiene el corredor la velocidad de 5 km/h? Explique.

Razonamiento matemático

• En la gráfica, se muestran cuatro rectas con diferentes pendientes para describir el cambio de velocidad en cada instante.
• Las pendientes determinan la inclinación de la recta que describe la función lineal. Si es creciente, la pendiente es positiva; cuando es negativa, es decreciente y cuando es la recta es horizontal, la pendiente es cero. En el caso de que la recta sea vertical, la pendiente no está definida.
• Utilizando la ecuación punto pendiente, es posible determinar el modelo como V= 25 – 5t, en el intervalo de cuatro a cinco horas.

Repasar las funciones en el enlace: http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001843.pdf

2. Lea y resuelva.

En los días de mercados, una vendedora usa balanzas con las cuales estima por medio de contrapesos las medidas de las papas que vende. De esta manera, calcula la cantidad de papas por libra y el precio según la cantidad de libras que se solicite.

• Según la gráfica, ¿es posible estimar cuántas libras se compran con Q.41? Explique.
• Si quiere comprar un quintal para hacer paches en una fiesta, ¿cuánto tiene que pagar?

Razonamiento matemático

El modelo para esta situación es y = 5x. Por la compra de 5 libras gastó Q 25.00. Por la compra de 6 ½ libras gastó Q32.50.

3. Resuelva.

Un ingeniero agrónomo estudia el crecimiento de un tipo especial de milpa. Cada semana hace mediciones durante el período de desarrollo.

• La tabla muestra la información después de 20 semanas:

Semanas	6	8	10	15	20
Altura (cm)	11	29	47	75	109

• ¿Puede predecir qué altura tiene la milpa a las 18 semanas?
• Es posible modelar esta situación de forma lineal, ya que se observa que los puntos están aproximadamente sobre la recta.
• Se utlizan dos de los puntos que están aproximadamente sobre la recta (6,11) y (20,109).
• Utilice la ecuación punto pendiente, donde x son las semanas e y es la altura de la milpa.

Cálculo de la pendiente:	[math]\displaystyle{ m=(y_2-y_1) / (x_2-x_1) }[/math]; se sustituye [math]\displaystyle{ m=(109-11)/ (20-6)=7 }[/math].
Ecuación punto pendiente:	[math]\displaystyle{ y_2-y_1=m (x_2-x_1) }[/math]; sustituye el punto [math]\displaystyle{ (6,11) }[/math] y se despeja [math]\displaystyle{ y-11=7 (x-6) }[/math], entonces [math]\displaystyle{ y= 7x-31 o f(x) = 7x-31 }[/math].

• Utlice el modelo para estimar cuál es la altura a las 18 semanas: sutituya y= 7(18)-31, entonces y= 95 centimetros.

Crecimiento o aumento en el orden físico, intelectual o moral.