Tema 4. Medidas de posición y variabilidad

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Indicador de logro

1. Calcula medidas de posición y medidas de dispersión o de variabilidad de una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos.

1. Calcule la media, moda y mediana.

• Explique los hallazgos.

En la tabla 1 se muestra la tabulación de las estaturas de 60 niños de segundo grado.

Límites reales		Marca de clase (xs)	Frecuencia (f)	Frecuencia acumulada (fa)
Inferior	Superior
101.25	104.51	102.88	9	9
104.51	107.67	106.04	19	28
107.67	110.83	109.2	21	49
110.83	113.99	112.36	7	56
113.99	117.15	115.52	4	60

Figura 1

Razonamiento matemático

Para calcular la media [math]\displaystyle{ \overline{X}=\frac{\sum fx_s}{N} }[/math], se suman todos los productos de las frecuencias con su respectiva marca de clase:[math]\displaystyle{ \sum fx_s=6482.48 }[/math], y se divide entre el número total de datos [math]\displaystyle{ N=60 }[/math]; entonces, [math]\displaystyle{ \overline{X}= 108.04 cm }[/math], significa que el promedio de estatura está en [math]\displaystyle{ 1.07 metros }[/math]. Para calcular la moda [math]\displaystyle{ Mo=L_{RI}+\frac{f_p}{f_p+f_a}a }[/math], se identifica la frecuencia absoluta mayor para ubicar que [math]\displaystyle{ L_{RI}=107.67 }[/math]; la frecuencia absoluta posterior es [math]\displaystyle{ f_p=7 }[/math] y la frecuencia absoluta anterior es [math]\displaystyle{ f_a=19 }[/math]; la amplitud es [math]\displaystyle{ a=104.51–101.25–0.1=3.16 }[/math] (se resta 0.1 por ser los límites reales), entonces [math]\displaystyle{ Mo= 108.52 cm }[/math], que es la medida la que más se repite en el grupo de [math]\displaystyle{ 60 }[/math] alumnos.

Para calcular la mediana [math]\displaystyle{ Me=L_{RI}+\frac{N/_2^{-f a^a}}{f} a }[/math]; N/2=30; entonces, la frecuencia absoluta que se acerca es [math]\displaystyle{ f_a=49 }[/math], se identifica [math]\displaystyle{ fa_a=28 }[/math], la frecuencia absoluta es [math]\displaystyle{ f=21 }[/math], el limite real inferior [math]\displaystyle{ L_{RI}=107.67 }[/math] y la amplitud es [math]\displaystyle{ a=3.16 }[/math] (calculada con anterioridad). La mediana es [math]\displaystyle{ Me=107.97cm }[/math]. Este valor divide al grupo en dos partes: 50% mide más y 50%, menos.

Desarrollo

Nuevos conocimientos

1. Resuelva.

La tabla 2 muestra las puntuaciones de un examen diagnóstico de matemáticas.

• Calcule el percentil 27.
• ¿Entre qué valores se encuentra el 50% central de los individuos?
• Calcule la desviación media y la desviación típica para las notas del examen diagnóstico.

Figura 2

Notas	f	fa
0 a 10	8	8
10 a 20	22	30
20 a 30	32	62
30 a 40	44	106
40 a 50	28	134
50 a 60	20	154
60 a 70	6	160

Nuevos aprendizajes

El percentil (P)	El percentil es una medida de posición usada en estadística que indica, una vez ordenados los datos de menor a mayor, el valor de la variable por debajo del cual se encuentra un porcentaje dado de observaciones en un grupo de observaciones.
Los cuartiles (Q)	Son los valores que dividen a los datos en cuatro partes iguales. Estos valores, representados por Q1, Q2 y Q3, se llaman primer, segundo y tercer cuartil.
Desviación media	Es la distancia entre cualquier porcentaje no procesado y su media, también podemos decir que la desviación de un dato es la diferencia entre este y la media aritmética del grupo o de la distribución de la cual se extrae.
Desviación estándar o típica	También llamada desviación cuadrática media, la podemos definir como la raíz cuadrada de la media de las desviaciones de la media de una distribución elevada al cuadrado. Representa la variabilidad promedio de una distribución porque mide el promedio de las desviaciones de la media. Debemos tomar en cuenta que mientras mayor sea la dispersión alrededor de la media, mayor será la desviación estándar. Por ejemplo, s=4.4 indica una mayor variabilidad que si s=2.4.

Cálculo de percentiles y cuartiles

Para datos agrupados, se emplea la siguiente expresión para calcular los percentiles: [math]\displaystyle{ P_y=L+\frac{\frac{yN}{100}-fai}{f}i }[/math]

yN= determina el intervalo donde se encuentra el percentil en la columna de la frecuencia acumulada.

L= es el límite inferior del intervalo donde se encuentra el percentil buscado.

y = percentil buscado.

N= total de los casos o suma de las frecuencias.

fai= frecuencia acumulada anterior al intervalo en donde se encuentra el percentil buscado.

f= frecuencia del intervalo en donde se encuentra el percentil buscado.

i= amplitud del intervalo.

yN= 0.27*160=43.2, se busca el valor igual o próximo mayor en la columna de frecuencia acumuladas; en este caso es 62. El percentil 27 está en el intervalo 20 a 30, entonces:

[math]\displaystyle{ P_27=20+\frac{43.2-30}{32} 10=24.125 }[/math], las notas de la prueba son inferiores a [math]\displaystyle{ 24 }[/math] puntos.

Para datos agrupados, se emplea la siguiente expresión para calcular los cuartiles: [math]\displaystyle{ Q_1=L+\frac{N/_4 -fai}{f}i Q_2=L+\frac{2N/_4 -fai}{f}i Q_3=L+\frac{3N/_4 -fai}{f}i }[/math]

Se trata de calcular el primer cuartil, que dejará por debajo el 25% inferior, y el tercer cuartil, que dejará por encima el 25% superior. De esta forma, entre ambos valores se encontrará el 50% central.

Para el primer cuartil: [math]\displaystyle{ N/4=160/4=40 }[/math]. La primera frecuencia acumulada que supera este valor es 62; por consiguiente, el primer cuartil se encuentra en el intervalo de 20 a 30, aplicamos la fórmula para su determinación:[math]\displaystyle{ Q_1=20+\frac{40-30}{43}10=23.125 }[/math]

Las tres cuartas partes del tamaño de la muestra son 3N/4= 120. La primera frecuencia acumulada que supera este valor es 134; por tanto, el tercer cuartil se encuentra en el intervalo de 40 a 50 y su valor es:[math]\displaystyle{ Q_3=40+\frac{120-106}{28}10=45 }[/math]

El 50% central de notas está arriba de 23 puntos y por debajo de 45 puntos.

N/n: determina el intervalo donde se encuentra el cuartil buscado.

L= es el límite inferior del intervalo donde se encuentra el cuartil buscado.

y = percentil buscado.

N= total de los casos.

fai= frecuencia acumulada anterior al intervalo en donde se encuentra el cuartil buscado.

f= frecuencia del intervalo en donde se encuentra el cuartil buscado.

i= amplitud del intervalo.

Desviación media y desviación estándar

Para datos agrupados, se emplea la siguiente expresión para calcular desviación media y desviación estándar o típica:

[math]\displaystyle{ D.M.=\frac{\sum f\mid x_s -\overline{x}\mid}{N} }[/math]

Desviación media

[math]\displaystyle{ S=\sqrt{\frac{{\sum f\mid x_s -\overline{x}\mid}^2}{N}} }[/math]

Desviación estándar o típica

[math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math]= media de los datos

[math]\displaystyle{ x_s }[/math]= marca de clase

[math]\displaystyle{ f }[/math]= frecuencia

[math]\displaystyle{ N }[/math]= total de datos en la muestra

Las rayas verticales de la fórmula nos indican que se deben sumar los valores absolutos de las desviaciones; es decir, debemos sumar todos los valores sin tomar en cuenta el signo negativo.

2. Observe la tabla 3 y realice lo que se le indica.

• Calcule la media.

[math]\displaystyle{ \overline{X}=\frac{\sum fx_s}{N} = \overline{X}\frac{5460}{160}=34.125 }[/math]

[math]\displaystyle{ D.M.=\frac{\sum f\mid x_s -\overline{x}\mid}{N} D.M=\frac{1891.5}{160}=11.82 }[/math]

Tabla 3

Límite inferior	Límite superior	[math]\displaystyle{ f }[/math]	[math]\displaystyle{ x_s }[/math]	[math]\displaystyle{ f*x_s }[/math]	[math]\displaystyle{ \overline{X} }[/math]	[math]\displaystyle{ x_s − \overline{X} }[/math]	[math]\displaystyle{ f\mid x_s -\overline{x}\mid }[/math]	[math]\displaystyle{ {f\mid x_s -\overline{x}\mid}^2 }[/math]
0	10	8	5	40	34.125	-29.125	233	6786.125
10	20	22	15	330	34.125	-19.125	420.75	8046.844
20	30	32	25	800	34.125	-9.125	292	2664.5
30	40	44	35	1540	34.125	0.875	38.5	33.688
40	50	28	45	1260	34.125	10.875	304.5	3311.438
50	60	20	55	1100	34.125	20.875	417.5	8715.313
60	70	6	65	390	34.125	30.875	185.25	5719.594
			[math]\displaystyle{ \sum }[/math]	5460	[math]\displaystyle{ \sum }[/math]		1891.5	35277.5

• Con los datos de la tabla 3, calcule la desviación media (D.M.).

El resultado de la desviación media indica que el promedio de las desviaciones entre los datos y la media es 11.82.

• Calcule la desviación estándar o típica. [math]\displaystyle{ S=\sqrt{\frac{{\sum f\mid x_s -\overline{x}\mid}^2}{N}} }[/math]

[math]\displaystyle{ S=\sqrt{\frac{35277.5}{160}}=14.85 }[/math]

La desviación estándar o típica indica que la dispersión a la que están los datos con respecto de la media es 14.85.

Cierre

Ejercicios del tema

1. Resuelva el siguiente problema.

Los datos que se observan en la tabla 4 corresponden a los tiempos, medidos en minutos, que hicieron 33 jóvenes al participar en la maratón organizada por la municipalidad de la comunidad.

a. Realice los cálculos para completar la tabla 4 (observe la tabla 3).

b. Si descontamos el 15 % de los individuos que hicieron menos tiempo y el 15% de los que hicieron más tiempo, ¿en qué intervalo de puntuación se encuentran los restantes?

c. ¿Entre qué valores se encuentra el 50% central de los individuos?

d. Calcule la desviación media y la desviación típica para los tiempos.

Tabla 4

Límite inferior	Límite superior	[math]\displaystyle{ f }[/math]	[math]\displaystyle{ fa }[/math]	[math]\displaystyle{ x_s }[/math]	[math]\displaystyle{ f*x_s }[/math]	[math]\displaystyle{ \overline{X} }[/math]	[math]\displaystyle{ x_s − \overline{X} }[/math]	[math]\displaystyle{ f\mid x_s -\overline{x}\mid }[/math]	[math]\displaystyle{ f\mid x_s -\overline{x}\mid^2 }[/math]
45	51	4	4	48	192		13.27	53.08	704.3716
51	57	6	10	54	324		7.27	43.62	317.1174
57	63	11	21	60	660		1.27	13.97	17.7419
63	69	3	24
69	75	9	33
[math]\displaystyle{ \sum }[/math]						[math]\displaystyle{ \sum }[/math]

Razonamiento matemático a. Las marcas de clase son [math]\displaystyle{ 66 }[/math] y [math]\displaystyle{ 72 }[/math]; los productos de [math]\displaystyle{ f*x_s }[/math] son [math]\displaystyle{ 198 }[/math] y [math]\displaystyle{ 648 }[/math], la sumatoria es [math]\displaystyle{ 2022 }[/math]. La media es [math]\displaystyle{ 61.27 }[/math]. Las diferencias de marca de clase menos media son [math]\displaystyle{ 4.73 }[/math] y [math]\displaystyle{ 10.73 }[/math]. Los productos de frecuencia por las diferencias son [math]\displaystyle{ 14.19 }[/math] y [math]\displaystyle{ 96.57 }[/math], la sumatoria es [math]\displaystyle{ 221.43 }[/math]. Los productos de la frecuencia por la diferencia al cuadrado son: [math]\displaystyle{ 67.20 }[/math] y 1[math]\displaystyle{ 036.20 }[/math], la sumatoria es [math]\displaystyle{ 2142.56 }[/math].

b. Para obtener el intervalo de puntuación, se deben de calcular el percentil [math]\displaystyle{ 15 }[/math] y el percentil [math]\displaystyle{ 85:P_15+\frac{4.95-4}{4} 6=52.43 }[/math] y [math]\displaystyle{ P_85=69+\frac{28.05-20}{69} 6=74.37 }[/math], el intervalo de los restantes es [math]\displaystyle{ 57 al 69 }[/math].

c. Para encontrar los valores en los que está el [math]\displaystyle{ 50% }[/math], se debe calcular el primer cuartil, que dejará por debajo el [math]\displaystyle{ 25% }[/math] inferior, y el tercer cuartil, que dejará por encima el 25% superior.

[math]\displaystyle{ Q_1=51+\frac{8.25-4}{6}6=55.25 }[/math] y [math]\displaystyle{ Q_3=69+\frac{24.75-24}{9}6=69.5 }[/math]. El intervalo donde está el [math]\displaystyle{ 50% }[/math] central de los tiempos es de [math]\displaystyle{ 57 a 69 }[/math].

d. La desviación media es:[math]\displaystyle{ D.M=\frac{211}{33}=6.39 }[/math]. La desviación típica es:[math]\displaystyle{ s=\sqrt{\frac{2181.95}{33}}=8.13 }[/math]

Identificación de una enfermedad a partir de sus síntomas. También: acción y efecto de recoger y analizar datos para evaluar problemas de diversa naturaleza.