Tema 4. Círculo, circunferencia Congruencia y simetría

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Indicadores de logro

1. Identifica y ubica radio, diámetro y circunferencia en un círculo.
2. Determina congruencia entre polígonos según sus propiedades.
3. Establece la simetría de reflexión y rotacional de un polígono.

1. Observe los polígonos que aparecen en la figura 1 y responda.

• ¿Qué diferencias observa en los polígonos y las líneas internas?
• ¿Cómo puede encontrar las diagonales de cada figura?
• ¿Qué comprende por diagonal de un polígono?
• De la figura 1, ¿Cuáles tiene trazada correctamente una diagonal?

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Figura 1

Una recta diagonal, es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos. En una figura de n lados, el número de diagonales se puede calcular por la expresión: [math]\displaystyle{ \frac {n (n - 3)}{2} }[/math]

• Calcule en el cuaderno las diagonales de los polígonos de la figura 1 y también calcule las diagonales para un octágono y un decágono.

El Sudoku circular

En un sudoku tradicional formado por cuadros o rectángulos según el orden, se distribuyen los números de manera que no se repitan en las filas, columnas y diagonales para que la suma sea la misma. En un Sudoku circular de orden 5: se llenan las casillas vacías con los números del 1 al 5 sin repetir el número en cada sector y en cada franja del mismo.

• Emplee un compás y regla para trazar el sudoku circular que se muestra en la figura 2 en el cuaderno.
• Con lápiz, sobre el sudoku elaborado en el cuaderno, coloque los números del 1 al 5 siguiendo las reglas indicadas anteriormente.

Figura 2

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en el plano que están a una distancia fija de un punto llamado centro. Cualquier segmento que una el centro a un punto en el círculo se llama radio (r) del círculo. El diámetro (d) del círculo es un segmento que pasa por el centro y tiene puntos extremos en el círculo. El perímetro del círculo se llama circunferencia (C) del círculo.

La razón [math]\displaystyle{ \frac {c}{d} }[/math] es la misma de todos los círculos, y se representa con la letra griega [math]\displaystyle{ \pi }[/math].

El número [math]\displaystyle{ \pi\approx3.14. }[/math] El perímetro se define como [math]\displaystyle{ P=2 \pi r }[/math] y el área es [math]\displaystyle{ A =\pi r^2 }[/math]

• Calcule el perímetro y el área de un círculo que tiene un radio que mide [math]\displaystyle{ 3 cm }[/math]. El primero es [math]\displaystyle{ P = 2 \pi (3 cm) = 18.8 cm }[/math]; y el área es [math]\displaystyle{ A = \pi (3 cm)^2 = 28.3 cm^2. }[/math]
• Calcule el perímetro si el área es de [math]\displaystyle{ 503 cm^2. }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {circunferencia}{díametro}=\pi=3.14159... }[/math] Figura 3

Congruente con

Dos figuras son congruentes si son idénticas en forma y tamaño. Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Dos ángulos son congruentes si tiene la misma medida. El signo [math]\displaystyle{ \cong }[/math] significa “es congruente con”.

• Dibuje dos pentágonos irregulares que sean congruentes y justifique por qué son congruentes.

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Figura 4

Simetría

Una figura tiene simetría de reflexión si, cuando se traza y se dobla por la mitad, una mitad cae exactamente sobre la otra. La recta a lo largo de la cual se dobla la figura se llama eje de simetría. Una figura tiene simetría rotacional si un dibujo de ella se puede girar o rotar alrededor de un punto menos de una revolución completa, de manera que la figura caiga exactamente sobre sí misma.

• Recorte en papel periódico un cuadrado y un triángulo como los de la figura 5.
• Doble cada polígono en dos partes iguales y pinte el doblez con color verde. Doble todas las veces que sea posible de tal forma que quede dividido en dos partes iguales.
• Pinte un punto en el centro, gire y determine si tiene simetría rotacional. Comparta sus hallazgos.

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Figura 5

Cierre

Ejercicios del tema

Puede consultar las respuestas en la sección resultados a los ejercicios del tema

Nivel: Conocimiento y recuerdo

1. Identifique y examine las situaciones.

• Copie en una hoja cuadrícula la figura 6, doble y dibuje la simetría de reflexión sobre el eje A y el eje B. Luego compruebe rotando la figura si tiene simetría rotacional.
• Plantee una estrategia y comparta resultados.
  Imelda es una decoradora de interiores y tiene que renovar la ventana que se muestra en la figura 7.
• Calcule cuanta madera necesita, si desea colocarla en todo el contorno.
• Encuentre cuánto vidrio necesita, si ha pensado en cubrir la ventana completamente.

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  Figura 6

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  Figura 7

Nivel: Comprensión

2. Organice y relacione la información.

Derek tiene un terreno como el de la figura 8. Su novia le dice que los ángulos del terreno son congruentes, él lo duda.

• Plantee una estrategia para poder saber quién tiene la razón.
• Encuentre el valor de x y calcule los ángulos y explique porque son o no son congruentes.

Figura 8

Julio y Fernando son hermanos y quieren construir su casa en un terreno circular como se muestra en la figura 9. Julio dibujo la construcción como un hexágono con la medida de su lado de 10 m y la apotema de 6 m.

Fernando dibuja la construcción como un pentágono.

Julio explica a Fernando que accede a construir como un pentágono, pero si ocupan es mismo espacio. Si Fernando propone que el lado del pentágono sea de 12 m ¿Cuál será la medida de la apotema para que ocupe la misma área que el hexágono?

• Proponga una estrategia para ayudar a Fernando.
• Calcule la apotema que debe utilizar Fernando y explique si es posible la petición de Julio.
• Comparta cuál es el área de cada una de las casas que han propuesto los hermanos.
• Calcule el área que dejan para jardín, si en un hexágono siempre se cumple que r = L.

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Figura 9

Nivel: Análisis

3. Ordene los datos y plantee estrategias.

Esteban está investigando los polígonos que se muestran en la figura 10. Desea saber cuántos ejes de simetría exactamente tiene cada uno de los polígonos.

• Plantee y explique una estrategia para investigar los polígonos.
• Determine qué tipos de simetría tiene cada polígono.
• Copie en el cuaderno los polígonos y demuestre si se cumplen las simetrías.
• Explique por qué algunos polígonos no tienen simetría.

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  (a)

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  (b)

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  (c)

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  (d)

Figura 10

Celso quiere fabricar una cometa como se muestra en la figura 11, al observar el instructivo se da cuenta que la diagonal del centro forma dos triángulos y que aún falta hallar dos ángulos.

• Observe y explique cómo puede hallar los ángulos que no se conocen.
• Calcule los ángulos y explique por qué es verdadero el resultado.

Figura 11

Nivel: Utilización

4. Plantee una estrategia utilizando la información para resolver los problemas.

Los hermanos Pérez heredaron de su abuelo un terreno que tiene forma de un triángulo equilátero. El abuelo partió el terreno de la forma que se muestra en la figura 12 y les indicó que la herencia sería de ellos si calculaban el perímetro de cada parte del terreno.

• Dibuje en el cuaderno el terreno y sus partes, plantee una estrategia para ayudar a los hermanos Pérez.
• Aplique su conocimiento de triángulos congruentes y encuentre el valor de x e y.
• Calcule el perímetro de los triángulos I, II y III.

Figura 12

En la aldea lo de Carranza se está construyendo un nuevo parque de forma hexagonal como se muestra en la figura 13.

Cristian el maestro de obra encargado, necesita circular el jardín (área sombreada) y cubrirlo con gramilla. Según los planos se observa que el lado del hexágono mide 12 metros y la apotema 6 raiz cuadrada de 3, también que la mitad del lado L es el radio de las partes circulares.

• Observe y plantee una estrategia para colaborar con Cristian para circular y engramillar el jardín.
• Calcule el perímetro y el área de la parte sombreada que representa el jardín.

Figura 13

Respuestas a los ejercicios del tema

Compruebe sus resultados a los ejercicios del tema con esta tabla.

Inicio

Observe que en el hexágono y cuadrado la diagonal los parte por la mitad y en el pentágono está trazado de vértice a vértice.

Trace una línea de vértice a vértice.

Identifique que es la recta que se traza entre dos vértices del polígono.

Observe que el único que tiene trazado de manera correcta la diagonal es el pentágono.

Complete el sudoku circular:

Cierre

Respuestas del nivel de conocimiento y recuerdo

1. En esta parte se refuerza la habilidad de poder recordar determinada palabra o concepto, operación y luego emplearlo.

Respuestas:

Doble la hoja en cuatro partes y dibuje las simetrías.

Calcule el perímetro: [math]\displaystyle{ P=2.5*3+2\pi(2.6÷2)\cong16 cm }[/math]

Calcule el área: [math]\displaystyle{ A=2.6*2.6+\pi(2.6÷2)^2\cong12cm^2 }[/math]

Respuestas del nivel de comprensión

2. Organiza y relaciona la información.

Refuerza lo que lee y, asocia un número, una variable y una operación.

La selección de elementos significativos le permite dar respuesta a la situación problemática.

Respuestas:

Halle [math]\displaystyle{ x: 30x+50=1080; x=31 }[/math]

Calcule los ángulos: [math]\displaystyle{ \alpha=134° }[/math]; [math]\displaystyle{ \beta=148° }[/math]; [math]\displaystyle{ \delta=124° }[/math]; [math]\displaystyle{ \epsilon=140° }[/math]; [math]\displaystyle{ \Theta=128° }[/math]; [math]\displaystyle{ \phi=155° }[/math]; [math]\displaystyle{ \lambda=127° }[/math]

Calcule área de Julio y Fernando.

[math]\displaystyle{ AJ=(10*6*6)÷2=180 m^2; }[/math]

[math]\displaystyle{ AF=(12*5*a)÷2=30a }[/math]

Iguale áreas para hallar apotema: [math]\displaystyle{ 180=30a; a=6 }[/math]

Calcule área del jardín: [math]\displaystyle{ As=π(10)^2-(10*6*6)÷2=134.2 m^2 }[/math]

Respuestas del nivel de análisis

3. Ordena los datos y plantea estrategias Identifica diferencias y similitudes importantes en el conocimiento.

Respuestas:

Calcule los ejes según el número de lados del polígono regular.

No hay simetría en los polígonos irregulares.

Se identifica simetría de reflexión y rotacional para los polígonos regulares.

Se identifica triángulos congruentes, según sus ángulos.

Calcule los lados del triángulo equilátero: [math]\displaystyle{ x+20=26; x=6; y-5=42; y= 47 }[/math]

Respuestas del nivel de utilización

4. Plantea una estrategia utilizando la información para resolver los problemas.

Llegar a soluciones efectivas en este nivel indica que se ha logrado un estímulo que le permite actuar con dominio del conocimiento.

Respuestas:

Calcule variables ya que es un triángulo equilátero: [math]\displaystyle{ 3y – 5 = 2y + 7; y = 12; x+8 = 3x; x=4 }[/math]

Calcule el lado de triángulo 3: [math]\displaystyle{ 3(12)-2(4)-4=24 }[/math]

Calcule perímetros de triángulos:[math]\displaystyle{ Pl= 3(12) – 5 + 2(4) + 24 = 67 }[/math]

[math]\displaystyle{ P2=2(12)+7+3(4)+24=67 }[/math]

[math]\displaystyle{ P3=24*2+31- (4+8+3(4)) =58 }[/math]

Calcule el perímetro de los dos círculos que se forman: [math]\displaystyle{ P= 12\pi metros. }[/math]

Calcule área sombreada: [math]\displaystyle{ A=159.5m^2. }[/math]

Capacidad o destreza para hacer algo bien o con facilidad.

Lo que estimula o incita a hacer algo.