Tema 1. Sistemas de ecuaciones: Método gráfico y método por igualación

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Indicadores de logro

1. Determina si una pareja ordenada es solución de un sistema de ecuaciones.
2. Resuelve un sistema de ecuaciones utilizando método gráfico y método por igualación.

Todas las actividades de este cuadernillo son para que usted las realice solo o acompañado de otros docentes. También puede aplicarlos con estudiantes del ciclo básico.

1. Identifique y explique si Ana y Beto caminan de forma paralela o perpendicular uno respecto al otro.

Ana, ubicada en el punto A (0,10) y Beto, en el punto B (0,1.8) caminan sobre una línea recta, de tal manera que se encuentran en el punto C (4,5), como se muestra en la gráfica 1.

Si la ecuación de la trayectoria de Ana es [math]\displaystyle{ Y =-\frac{5}{4} }[/math], ¿cuál es la pendiente de la trayectoria de Beto?

Razonamiento matemático

1. Las rectas que se intersecan y forman un ángulo de [math]\displaystyle{ 90° }[/math] se llaman rectas perpendiculares. Una forma de demostrar que son perpendiculares es multiplicar sus pendientes: [math]\displaystyle{ m_1*m_2 }[/math]; si el resultado es: [math]\displaystyle{ -1 }[/math], son perpendiculares.

Observe que la pendiente de la recta relacionada con Ana es:

[math]\displaystyle{ m_A=\frac{10 - 5}{0 - 4}=\frac{5}{4} }[/math]

a. La pendiente de la recta relacionada con Beto es: [math]\displaystyle{ m_B=\frac{5 - 1.8}{4 - 0}=\frac{4}{5} }[/math]

Ana y Beto caminan en direcciones perpendiculares porque [math]\displaystyle{ (-5/4)*(4/5) }[/math] es [math]\displaystyle{ -1. }[/math]

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales de la forma: Ax + By = C, donde x e y son las incógnitas y los números A, B y C son conocidos. Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de valores (x, y) que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver el sistema es encontrar una solución.

1. Lea y resuelva.

a. Complete las siguientes tablas en el cuaderno.

b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada ecuación en un mismo plano; utilice un color para cada ecuación.

c. Trace una recta sobre puntos comunes para cada ecuación.

d. Identifique y escriba las coordenadas donde se intersecan las ecuaciones y explique qué representa ese punto.

Tabla A para la ecuación x+2y=7
A	Si “x” vale:	0	1	2	3	4	5	6
	Entonces “y” vale:	7/2	3
Tabla B para la ecuación x-y=4
A	Si “x” vale:	0	1	2	3	4	5	6
	Entonces “y” vale:	-4	-3

Razonamiento matemático

b. Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas del punto de intersección; debido a que el punto de intersección se encuentra sobre ambas rectas, esta pareja ordenada (x,y) es la solución del sistema.

c. Al graficar las ecuaciones, se intersecan en el punto (5,1), que es donde las coordenadas o soluciones son las mismas para ambas ecuaciones.

2. Lea.

Observe la Gráfica 2, donde se muestran la recta f y la recta g en un mismo plano.

a. Despeje la variable “y” de ambas ecuaciones e iguales las rectas, de tal manera que sea una ecuación con una sola variable.

b. Despeje la ecuación resultante para encontrar el valor de x.

c. Encuentre el valor de y sustituyendo el valor de x en cualquier ecuación de las rectas.

d. Compare los resultados con el punto A mostrado en la Gráfica 2.

Gráfica 2

Razonamiento matemático para la actividad 2

a. Otra manera para resolver sistemas de ecuaciones es usar el método por igualación, que resulta especialmente útil cuando las dos ecuaciones están en forma Ax+By=C.

b. Al despejar “y” de la recta f, queda y= - x + 5; al despejar “y” de la recta g, queda y=x -1. Como ambas tienen la misma solución (sistema simultáneo), entonces f=g, al igualar queda - x + 5= x -1.

c. Al despejar, se encuentra x= 3; al sustituir en cualquier ecuación de las rectas, se encuentra y=2 porque y= -3+5=2 o y=3 -1=2.

d. Según los despejes x=3 e y=2; entonces, (3,2) es la solución del sistema.

Cierre

Ejercicios del tema

1. Lea el caso y resuelva las actividades.

Tres grupos de estudiantes de distintos centros educativos salen de excursión a diferentes lugares turísticos.

a. Complete la tabla con la información de los modelos que describen la ruta de cada grupo.

Minutos x	0	20	24	...	40
Kilómetros y
Grupo 1	32-0.5(0)	32-0.5(20)	32-0.5(24)	...	32-0.5(40)
Grupo 2	16+0.3(0)	16+0.3(20)	16+0.3(24)	...	16+0.3(40)
Grupo 3	8+0.5(0)	8+0.5(20)	8+0.5(24)	...	8+0.5(40)

b. Localice y grafique las coordenadas de los puntos de cada grupo en un mismo plano.
Utilice diferentes colores para cada grupo.

c. Trace rectas sobre los puntos comunes para cada grupo.

d. Identifique si, en algún punto, los grupos se encuentran en la ruta a su destino.

e. Interprete y explique las intersecciones en las rutas.

Razonamiento matemático

a. Coordenadas para grupo 1: (0,32), (20,22), (24,20), (40,12). Coordenadas para grupo 2: (0,16), (20,22), (24,23.2), (40,28). Coordenadas para grupo 3: (0,8). (20,18), (24,20). (40,28).

b. El método gráfico es útil para visualizar la solución de sistemas de ecuaciones simultáneas e interpretar la información mostrada en la gráfica.
c-e. Al graficar, se identifica que el grupo 1 se encuentra con el grupo 2 en (20,22) y con el grupo 3 en (24,20). El grupo 3 y grupo 4 se encuentran en (40,28). El grupo 1 y 2 han viajado durante 22 minutos, el grupo 1 ha recorrido 12 kilómetros y el grupo 2 ha recorrido 4 kilómetros. En el caso de los grupos 2 y 3, se encuentran cuando han viajado 24 minutos, el grupo 2 ha recorrido 24 kilómetros y el grupo 3 ha recorrido 32 kilómetros.

2. Resuelva las actividades del caso de Carlitos.

Los amigos de Carlitos celebran su cumpleaños; para ello, compran hielo y refresco. Cuando se dirigen a la tienda, se encuentran con el profesor de matemática del instituto y les plantea un sistema de ecuaciones simultáneas: [math]\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{rcl} 5y& + &x& =& 170 \\ 4y& + &3x& =& 158 \end{array} \right. }[/math]

Él les explica que este sistema está relacionado con el precio del hielo y el refresco. Les propone que si encuentran el precio del hielo y el refresco pagará la cuenta.

a. Grafique el sistema de ecuaciones en un mismo plano si x representa el precio del hielo e y el precio del refresco, en quetzales.

b. Identifique si, en algún punto, el sistema se interseca.

c. Escriba y explique las coordenadas de la pareja ordenada donde se intersecan.

Razonamiento matemático

a. Cuando se utiliza el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones simultáneas, es muy útil usar el intercepto en eje Y y la pendiente. Para ello, es necesario expresar las ecuaciones del sistema de la forma y=mx+b, donde m se interpreta como la pendiente [math]\displaystyle{ m=\frac{\Delta y}{\Delta x} }[/math], así como el intercepto con coordenada (0,b).

b. Para graficar de manera fácil el sistema planteado, despeje y de la segunda ecuación: [math]\displaystyle{ y= -\frac{1}{5}x+34 }[/math], ahora identifique el intercepto: [math]\displaystyle{ (0,34) }[/math]. Desde este punto y utilizando la pendiente [math]\displaystyle{ m=\frac{\Delta y}{\Delta x}= -\frac{1}{5} }[/math]encuentre y ubique el punto [math]\displaystyle{ (0+5,34-1) = (5,33) }[/math] y trace la sobre todo el plano. Ahora, despeje: [math]\displaystyle{ y=-\frac{3}{4}x+\frac{79}{3} }[/math], con intercepto [math]\displaystyle{ (0,39.5) }[/math] con la información de la pendiente. El otro punto se encuentra en [math]\displaystyle{ (4,36.5) }[/math], trace una recta sobre todo el plano. c. Las rectas se intersecan en [math]\displaystyle{ (10,32) }[/math]; entonces, el hielo cuesta Q10 y el refresco, Q32.

3. Lea y resuelva las actividades.

Alberto y Ana tienen dos tipos de botellas para la venta de refrescos de tamarindo y rosa de Jamaica. Colocaron las botellas sobre dos mesas en dos formas distintas, tal como se muestra en la Figura 1. Luego, midieron la capacidad de almacenar de cada grupo de botellas y registraron la información en su cuaderno.

a. Con los datos obtenidos por Alberto y Ana, ¿cómo es posible determinar el volumen de cada botella?

• 

  Las tres botellas tienen la capacidad de almacenar 30 litros de refresco.

• 

  Las tres botellas tienen la capacidad de almacenar 18 litros de refresco.

Figura 1

b. Escriba una ecuación lineal para cada mesa. Considere que las botellas grandes son x, las botellas pequeñas son y.

c. Escriba un sistema de ecuaciones que exprese la situación.

d. Utilice el método de igualación para determinar el volumen de cada botella de refresco.

Razonamiento matemático

a. El método de igualación consiste en igualar las ecuaciones del sistema luego de despejar la misma variable de ambas ecuaciones.

b. El sistema que se forma para la situación es: [math]\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{lccl} 2x& + &y& =& 30 (f) \\ x& + &y& =& 18 (g) \end{array} \right . }[/math]

c. Despeje y de cada ecuación, iguale y resuelva para [math]\displaystyle{ x: 30-2x=9-(1/_2)x }[/math]; entonces, [math]\displaystyle{ x=14 }[/math] y, al sustituir en cualquiera de las ecuaciones del sistema, [math]\displaystyle{ y=2 }[/math]. Se concluye que la botella grande tiene capacidad para 14 litros y la pequeña es de 2 litros.

4. Lea y resuelva las actividades.

En una meseta localizada en Los Cuchumatanes, Guillermo tiene una parcela de forma rectangular que utiliza para la crianza de ovejas. El perímetro de la parcela es de 240 metros. Guillermo, el dueño del lugar, sabe que la parcela es el triple de largo que de ancho. Asumiendo que el ancho es x y el largo es y, Guillermo escribió el sistema de ecuación que expresa esta situación: [math]\displaystyle{ \left \{ \begin{array}{lccl} 2x& + &2y& =& 240 (f) \\ &y& =& 3x (g) \end{array} \right . }[/math]

a. Verifique si el sistema de ecuaciones representa las condiciones de la parcela de Guillermo.

b. Utilice el método de igualación para encontrar las dimensiones de la parcela de Guillermo.

c. Explique y escriba los razonamientos.

Razonamiento matemático

Según la estructura del sistema de ecuaciones, se limita el uso de algunos métodos para encontrar las soluciones.

a. Observe: se forma un sistema que genera dificultad al utilizar el método gráfico. Por eso se elige el método por igualación.

b-c. Al observar el sistema, se identifica que una ecuación ya está despejada, por lo tanto al despejar “y” de la ecuación f e igualar con g, es posible encontrar el valor de “x”: 3x=120-x; entonces, x=30 metros; al sustituir “x” en la ecuación g: y=3(30), y=90 metros.

Término utilizado, a menudo, como un saber hacer. Se suele aceptar que, por orden creciente, en primer lugar estaría la habilidad, en segundo lugar la capacidad, y la competencia se situaría a un nivel superior e integrador. Capacidad es, en principio, la aptitud para hacer algo. Todo un conjunto de verbos en infinitivo expresan capacidades (analizar, comparar, clasificar, etc.), que se manifiestan a través de determinados contenidos (analizar algo, comparar cosas, clasificar objetos, etc.). Por eso son, en gran medida, transversales, susceptibles de ser empleadas con distintos contenidos. Una competencia moviliza diferentes capacidades y diferentes contenidos en una situación. La competencia es una capacidad compleja, distinta de un saber rutinario o de mera aplicación.