Tema 2. Rectas paralelas y perpendiculares

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Indicadores de logro

1. Identifica las características de rectas paralelas y perpendiculares.
2. Encuentra la ecuación de rectas paralelas y perpendiculares.

1. Lea y exponga los resultados.

a. Complete las siguientes tablas en el cuaderno. Utilice las gráficas que se muestran en el plano.

Tabla para la ecuación y= - 4
Si “x” vale:	Entonces “y” vale:
-3
-2
-1
0
1
2
3

Tabla para la ecuación x= - 4
Si “x” vale:	Entonces “y” vale:
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4
-4

b. Según los resultados, ¿cómo son las pendientes de las rectas de la gráfica?

c. Escriba las coordenadas donde se intersecan y explique qué representa ese punto.

a-b. La pendiente de una recta determina la inclinación que muestra en una gráfica. En el caso de una horizontal, la pendiente es 0 y su ecuación es: y = b; para esta situación, y = - 4. En una recta vertical, la pendiente es infinita y su ecuación es x = a; para esta situación, x = - 4.

c. Las rectas se intersecan formando 90° entre sí, es decir son perpendiculares y se cruzan en el punto con coordenadas (-4-4).

2. Ayude a José, ¿cuánto debe cobrar por cada trabajo realizado?

José es un electricista que trabaja por su cuenta y extiende factura. Debe calcular el 12% de IVA para cobrar por su trabajo.

a. Si en un trabajo cobró Q.2500.00, ¿cuánto debe facturar?

b. Si facturó Q.5000.00, ¿cuánto cobró por su trabajo?

Razonamiento matemático

a. El modelo lineal general de una recta es y=mx+b; donde x es la variable independiente y y es la variable dependiente. La variable independiente es el dinero que cobra por trabajo y la independiente es el valor de la factura que extiende.

b. La pendiente es el IVA (12%), entonces el modelo es: y=1.12x. Si cobra Q.2500, debe facturar Q.2800: si factura Q.5000, entonces cobró Q.4464.30.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Dos rectas en el mismo plano son paralelas si nunca se intersecan y tienen la misma pendiente (m1=m2) y diferente coordenada en el origen.

Dos rectas en el mismo plano son perpendiculares si su intersección forma un ángulo de 90° (recto) y el producto de sus pendientes es -1 (m1*m2=-1).

1. Localice los puntos en el orden dado. Utilice un plano como el que se muestra en la Figura 1 y una hoja de papel cuadriculado.

A(0,5)

B(-5,2)

C(5,2)

D(5,-4)

E(-5,-4)

F(-1,-1)

G(1,-1)

H(-1,-4)

I(1,-4)

Figura 1

a. Una los puntos con segmentos de recta y siguiendo el orden: (B-E-D-C-B-A-C) y (H-F-G-I).

b. Identifique qué segmentos de recta son paralelos [math]\displaystyle{ (\parallel) }[/math] y perpendiculares [math]\displaystyle{ (\perp ) }[/math] entre sí. Explique.

c. ¿Es posible que los segmentos de recta [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] sean perpendiculares? Explique.

Razonamiento matemático

a. En un plano cartesiano todos los puntos tienen coordenadas (x,y), x son las coordenadas en el eje X (horizontal) y y es la coordenada en el eje Y (vertical).

b. Un segmento de recta es el que inicia en un punto y termina en otro. En la figura que se forma al unir los puntos, están definidos varios segmentos de recta. Por ejemplo, los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{FG} }[/math] son paralelos porque tienen la misma pendiente; en el caso de los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{GI} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{EG} }[/math], son perpendiculares debido a que forman un ángulo de 90° entre sí.

c. Para los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math][math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] según la pendiente, se puede determinar cómo se relacionan. La pendiente de [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] es -5 y la pendiente de [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] es -3/5; se concluye que no son [math]\displaystyle{ \perp }[/math] ni [math]\displaystyle{ \parallel }[/math].

2. Observe la Gráfica 1, donde se muestran tres rectas en un mismo plano.

a. Identifique las rectas paralelas y las perpendiculares. Explique.

Razonamiento matemático

Las rectas paralelas son las que nunca se intersecan y tienen la misma pendiente. Las rectas perpendiculares son aquellas que forman un ángulo recto entre sí y el producto de sus pendientes es -1.

El modelo lineal general de una recta es y=mx+b, donde “m” es la pendiente.

a. Las rectas 1 y 2 tienen la misma pendiente y son paralelas. Al efectuar el producto de 3*m=-1 y despejar, se encuentra que m=-1/3. La recta 3 es perpendicular a 1 y 2.

Gráfica 1

Cierre

Ejercicios del tema

1. En una hoja de papel con cuadros, grafique los puntos en el orden dado. Utilice un plano cartesiano. A(0,5); B(2,1); C(4,2)

a. Una los puntos con segmentos de recta siguiendo el orden: (A-B-C-A)

b. Si el segmento de recta [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math], es parte de la recta[math]\displaystyle{ y=-\frac{1}{2}x }[/math], ¿es posible que el segmento de recta [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] sea perpendicular con [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math]? Explique.

Razonamiento matemático

a. Dos rectas son perpendiculares cuando se cruzan, forman un ángulo de [math]\displaystyle{ 90° }[/math] y el producto de sus pendientes es [math]\displaystyle{ -1. (m1 * m2 = -1). }[/math]

b. El segmento perpendicular a [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] debe tener pendiente: [math]\displaystyle{ m2 *1/_2= -1 }[/math]; entonces, [math]\displaystyle{ m2= -2 }[/math]. Al calcular la pendiente del segmento [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] queda:

[math]\displaystyle{ M_{AB} =\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=2 }[/math] Se concluye que los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] son perpendiculares.

2. Lea los casos y resuelva las actividades.

Un padre hereda un terreno de forma triangular a sus cuatro hijos. Vea la gráfica 2. El triángulo [math]\displaystyle{ \Delta DEF }[/math] está inscrito en el triángulo [math]\displaystyle{ \Delta ABC }[/math]. Así se forman los terrenos para cada hijo.

a. Identifique y nombre los segmentos de los terrenos paralelos y de los perpendiculares.

b. Si el segmento [math]\displaystyle{ \overline{FE} }[/math] pasa por el punto (-2,0), ¿cuál es la ecuación del segmento de recta [math]\displaystyle{ \overline{FE} }[/math], si paralelo a [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] y la ecuación del segmento [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] es [math]\displaystyle{ y =\frac{4}{9}x+\frac{43}{9} }[/math]?

c. ¿Cuál es la ecuación para el segmento DE, si es perpendicular al segmento [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] y se intersecan en el punto <math<(1/_2, 5)</math>?

Gráfica 2

Razonamiento matemático

a. Dos segmentos son paralelos cuando están separados a la misma distancia, nunca se intersecan y tienen la misma pendiente. En la gráfica, se observa que los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{DE} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{AC} }[/math] son paralelos. También se observa que los segmentos [math]\displaystyle{ \overline{DE} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{FE} }[/math] son perpendiculares porque forman aproximadamente un ángulo recto en el punto donde se intersecan.

b. Si [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{FE} }[/math] son paralelas y tienen la misma pendiente y [math]\displaystyle{ \overline{EF} }[/math] pasan por [math]\displaystyle{ (-2,0) }[/math].
La ecuación de EF es: [math]\displaystyle{ y-0=\frac{4}{9}(x+2) }[/math], al simplificar queda: [math]\displaystyle{ y=\frac{4}{9}x+\frac{8}{9} }[/math].

c. Los segmentos AB y FE son perpendiculares y se intersecan en [math]\displaystyle{ (1/_2, 5) }[/math].
La pendiente de DE es: [math]\displaystyle{ m_{DE}=-\frac{4}{9} }[/math] y la ecuación será:[math]\displaystyle{ y=-\frac{9}{4}x+\frac{49}{8} }[/math].

3. Identifique y escriba el segmento de recta perpendicular a la altura [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math]. Explique.

En la Gráfica 3, se muestra el triángulo [math]\displaystyle{ \Delta ABC }[/math]. Este tiene dos alturas exteriores y una interior indicada con el segmento de recta [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math].

a. Encuentre la ecuación de [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math], si el segmento AB tiene la ecuación [math]\displaystyle{ y = - 2x - 2 }[/math]. Explique cómo lo hizo.

Razonamiento matemático

3. En geometría plana, la altura de un triángulo es un segmento que une un vértice con un punto de su lado opuesto o de su prolongación y es perpendicular a dicho lado. Una recta es perpendicular con otra cuando se intersecan y forman un ángulo recto, entonces [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] son perpendiculares.

a. La ecuación del segmento [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math], es perpendicular al segmento [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math] cuya pendiente es: [math]\displaystyle{ m_{AB}= - 2 }[/math], entonces [math]\displaystyle{ m_{CD}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} }[/math]

Con la pendiente y el punto [math]\displaystyle{ C(4,4) }[/math], la ecuación del segmento [math]\displaystyle{ \overline{CD} }[/math] es:[math]\displaystyle{ y-4\frac{1}{2}(x-4) }[/math], y despejada queda:[math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+2 }[/math].

4. Encuentre las ecuaciones para las trayectorias de las aereonaves B y C, explique cómo lo hizo.

Juan estudia para ser controlador de tráfico aéreo. Los instructores le presentan la situación que se muestra en la Gráfica 4, donde se observa un espacio aéreo con dos aeronaves (By C) dirigiéndose al aeropuerto (A).

Razonamiento matemático

4. [math]\displaystyle{ \overline{CA} }[/math] y [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] son perpendiculares: [math]\displaystyle{ m_{AB} =\frac{-1}{-1}= -1 }[/math].

Usando la ecuación punto pendiente, la trayectoria de [math]\displaystyle{ \overline{CA} }[/math] es [math]\displaystyle{ y = - x - 2 }[/math] y la trayectoria [math]\displaystyle{ \overline{BC} }[/math] es: [math]\displaystyle{ y = x + 6 }[/math].