Tema 3. Teorema de Pitágoras grados sexagesimales y radianes

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Indicadores de logro

1. Encuentra un lado desconocido en un triángulo rectángulo utilizando teorema de Pitágoras.
2. Convierte las medidas de los ángulos de grados a radianes y viceversa.

1. Lea y resuelva las actividades.

En un taller de carpintería tienen una plancha de madera como la que se muestra en la Figura 1. De esa plancha, se necesita sacar dos cuadrados más pequeños sin desperdiciar nada. ¿Eso es posible?

Figura 1

Razonamiento matemático

Para que los arreglos puedan formarse, los cuadraditos deben tener una medida por lado de 3 cm.

Los cuadrados que se forman con la Figura 1 son de 9 cuadritos y 16 cuadritos. La unidad de área son cuadritos y no centímetros, ya que al sumar las áreas se forma uno de 25 cuadritos.

Al formar el arreglo de la Figura 2, se necesita recortar 25 cuadritos para completarlo.

Observe que el arreglo muestra la suma de tres cuadrados de la siguiente forma: 32 + 42 =52.

• Dibuje un cuadrado como el de la Figura 1 en una hoja de papel.
• Corte cada cuadradito.
• Forme dos cuadrados con los cuadritos de la Figura 1.
• Con los cuadrados encontrados, forme un arreglo como el que se muestra en la Figura 2.
• Recorte más cuadraditos, hasta determinar cuántos forman un cuadrado que cubra la longitud de la diagonal c. Explique sus hallazgos.
• ¿Es posible escribir una expresión que relacione el área de los cuadrados en este arreglo?

Figura 2

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de los catetos. Matemáticamente se describe como a2 + b2=c2, donde c corresponde a la hipotenusa del triángulo, a y b son los catetos.

1. Lea.

Vea si las áreas del arreglo de la Figura 3 son las mismas: [math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b }[/math] [math]\displaystyle{ 3^2 + 4^2 = 5^2 }[/math] [math]\displaystyle{ 9+ 16 = 25 }[/math] [math]\displaystyle{ 25 = 25 }[/math]

Figura 3

Si cumplen, ahora compruebe con otros triángulos rectángulos, como los de la figura 4.

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Figura 4

Vea más sobre demostración de teorema de Pitágoras: https://www.youtube.com/watch?v=XfVWlO3sRw0

Razonamiento matemático

El teorema de Pitágoras es útil para encontrar un lado desconocido en un triángulo rectángulo. Debe tomarse en cuenta que solo es correcto aplicar este teorema en este tipo de triángulo. En la figura del lado izquierdo, el valor de c es:[math]\displaystyle{ c = \sqrt {8^2 + 15^2}=17 }[/math]; para la figura del lado derecho, el valor de c es: [math]\displaystyle{ c=\sqrt {9^2 + 12^2}= 15 }[/math]. Tome en cuenta que para encontrar el lado c se aplicó raíz cuadrada a la suma de los cuadrados de los catetos

Un radián es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo. La Figura 1 muestra que un radián tiene un valor en grados de: [math]\displaystyle{ 57.29578° }[/math] y que, en la circunferencia, hay [math]\displaystyle{ 6 }[/math] radianes exactos. En toda la circunferencia hay [math]\displaystyle{ 6.3 radianes =360° = 2\pi }[/math]. La Tabla 1 muestra la conversión de grados a radianes. Observe que los ángulos en radianes se expresan en términos de pi [math]\displaystyle{ (\pi) }[/math].

a. Trace en el cuaderno una circunferencia de 10 centímetros de radio. Luego mida en ella un ángulo estándar de 3 radianes. (Recuerde que 1 radián es 57.3°).

Figura 5

Tabla 1

Grados	Radianas
[math]\displaystyle{ 360° }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]
[math]\displaystyle{ 180° }[/math]	[math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]
[math]\displaystyle{ 90° }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi/_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ 60° }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi/_3 }[/math]
[math]\displaystyle{ 45° }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi/_4 }[/math]
[math]\displaystyle{ 30° }[/math]	[math]\displaystyle{ \pi/_6 }[/math]
[math]\displaystyle{ 57.3° }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 rad }[/math]

b. Trace otra circunferencia de 10 centímetros de radio. Luego, mida en ella un ángulo estándar de [math]\displaystyle{ \pi/3 }[/math] y [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math]. (Revise la Tabla 1 para guiarse).

Razonamiento matemático

a. Para trazar círculos utilice un compás. Para medir ángulos, use un transportador. [math]\displaystyle{ 3 rad \approx 172° }[/math]. Recuerde aproximar porque el transportador solo mide ángulos exactos.

b. Según la Tabla 1, [math]\displaystyle{ \pi/3=60° y pi/2=90° }[/math].

Cierre

Ejercicios del tema

1. Plantee una estrategia para calcular la longitud del alambre utilizado. Explique.

La Figura 6 muestra un poste del tendido eléctrico. Se estima que un alambre de 17m ha sido colocado para tierra física a una altura de 15 m. ¿A qué distancia se afianzó sobre el suelo?

Razonamiento matemático

El teorema de Pitágoras es útil para encontrar cualquier lado que falte en un triángulo rectángulo. La condición principal es que se conozcan dos lados del triángulo rectángulo.

1. Para determinar la longitud del alambre, identifique que se trata de la hipotenusa (diagonal). Para ello, aplique Pitágoras:[math]\displaystyle{ d=\sqrt{17^2-15^2}=8m }[/math] Importante: la hipotenusa siempre será mayor que los dos catetos. Así se sabe que los cálculos son correctos. Para calcular un cateto siempre se resta el cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del cateto conocido.

2. Lea y resuelva.

Javier tiene plantado un árbol de aguacates en el patio de su casa. Un día soleado, observa cómo la longitud de la sombra que proyecta ese árbol cambia luego de que transcurren cinco horas. En la Figura 7, se muestran las observaciones que hizo.

a. Dibuje, en el cuaderno, el triángulo rectángulo [math]\displaystyle{ \Delta ABD }[/math] e indique sus dimensiones.

b. Plantee una estrategia para calcular los valores de x y z. Explique los hallazgos.

Razonamiento matemático

El teorema de Pitágoras puede utilizarse en ocasiones como herramienta para solucionar situaciones problemáticas.

a. El triángulo [math]\displaystyle{ \Delta ABD }[/math] tiene como hipotenusa a [math]\displaystyle{ 17 }[/math] y catetos [math]\displaystyle{ 8 }[/math] y [math]\displaystyle{ (9+x) }[/math].

Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo [math]\displaystyle{ \Delta ABD }[/math], queda: [math]\displaystyle{ 172 = 82 + (9+x)^2 }[/math] . Se forma una ecuación cuadrática que simplificada queda:[math]\displaystyle{ x^2 + 18x -144 = 0 }[/math], con soluciones [math]\displaystyle{ x=6 }[/math] y [math]\displaystyle{ x=-24 }[/math]. El valor de x será 6 por tratarse de una situación de la vida real. Al aplicar Pitágoras al triángulo [math]\displaystyle{ \Delta ACD }[/math], queda: [math]\displaystyle{ z^2 = 8^2 + 6^2 }[/math] , entonces [math]\displaystyle{ z=10 }[/math].

3. Lea y realice las actividades.

En la clase de Martín hicieron una práctica de medición de ángulos. Los resultados se muestran en la tabla 2.

Los datos vacíos son porque Martín tiene duda de cómo convertir a la medida que se solicita.

Tabla 2

Ángulo en grados sexagesimales	[math]\displaystyle{ 15° }[/math]		[math]\displaystyle{ 120.5° }[/math]
Ángulo en radianes		[math]\displaystyle{ 0.5 rad }[/math]		[math]\displaystyle{ {\pi}{7} }[/math]

a. Plantee una estrategia que facilite la conversión de ángulos.

b. Complete la tabla con los valores que aún le faltan a Martín. Explique los hallazgos.

Vea más sobre conversión de radianes a grados: https://www.youtube.com/watch?v=-AR42voyFuQ

Razonamiento matemático de la actividad 3

a. Cuando una rotación (ángulo) se indica en radianes, la palabra radianes es opcional y a menudo se omite. Así, cuando no se indica ninguna unidad para una rotación, se entiende que esta se da en radiantes. Para convertir entre grados y radianes, se puede utilizar la noción de multiplicar por [math]\displaystyle{ 1:\frac{1 revolución}{1 revolución}=1=\frac{2\pi radianes}{260°} }[/math]

b. Para convertir [math]\displaystyle{ 0.5 }[/math] radián a grados queda: [math]\displaystyle{ 0.5 rad *\frac{180°}{\ rad}=28.6° }[/math]>. Al convertir [math]\displaystyle{ 120.5° }[/math] a radianes queda: [math]\displaystyle{ 120.5º =\frac{\pi rad}{180°}=2-1 }[/math] rad. Al convertir: [math]\displaystyle{ 15° = 0.26 }[/math] radianes, queda [math]\displaystyle{ \pi/7=25.7° }[/math].

Sebastián es un deportista, su especialidad es el ciclismo. El profesor de matemática le pregunta: ¿sabe usted cúal es la velocidad a la que giran las ruedas de la bicicleta cuando viaja? A lo que Sebastián pregunta: ¿qué necesito para saber cúal es la velocidad a la que giran? El profesor le responde: necesita saber cuántas vueltas (revoluciones) da en determinado tiempo.

Haciendo un experimento, Sebastián encuentra que gira 15 revoluciones en 0.5 minutos.

Figura 8

a. ¿Qué ángulo formó la rueda si una revolución es igual a [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]?

b. Si la velocidad angular es [math]\displaystyle{ ω =\frac{\Phi}{t} }[/math] ,donde φ es el ángulo que se forma según las revoluciones que se han hecho. Explique los resultados.

Razonamiento matemático

La velocidad angular se define como la cantidad de rotación por unidad de tiempo. La letra griega ω (omega) se utiliza por lo general para la velocidad angular. De esta manera, la velocidad angular se define como: [math]\displaystyle{ ω =\frac{\Phi}{t} }[/math], donde φ es el ángulo que se forma según las revoluciones que se han hecho.

a. En el experimento, se midieron 15 revoluciones, entonces:[math]\displaystyle{ 15 rev =\frac{2\pi}{1 rev}=30 }[/math], es el ángulo que se formó.

b. Al sustituir en la expresión de la velocidad angular, queda:[math]\displaystyle{ w=\frac{30 \pi}{0.5 min}=188.5 rad/min. }[/math]

Es impórtate tomar en cuenta que, al sustituir en la expresión de la velocidad angular, el ángulo φ debe estar expresado en radianes.