Tema 5. Trigonometría en el triángulo rectángulo

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1. Identifica las razones trigonométricas seno, coseno y tangente en un triángulo rectángulo.
2. Relaciona los ángulos especiales de 30º, 45º y 60º con las razones trigonométricas.

1. Lea y resuelva las siguientes situaciones.

Alberto emplea un clinómetro para observar el extremo de un pinabete. El ángulo de elevación obtenido con el clinómetro es de 45º y la distancia a la que se encuentra del árbol es de 3 metros, tal como se observa en la Figura 1. Si Alberto necesita determinar la altura y del pinabete, ¿qué valor obtiene?

Figura 1

Para responder a la pregunta, complete el cuadro 1 en su cuaderno.

¿Qué tipo de triángulo es?	¿Cuál es el valor de sus ángulos internos?			¿Cuál es el valor de los catetos del triángulo?

Alfredo y Judith son dos amigos que miden la profundidad de un valle, para lo cual tiran de un cordel y lo sostienen de tal manera que forman un triángulo como lo muestra la figura 2. Alfredo mide un ángulo de 30º hasta la cabeza de Judith. Si el cable mide 10 metros de longitud, ¿cuál es la profundidad del terreno?

Figura 2

Para responder a la pregunta, recorte un triángulo de papel con estas características. Considere una escala donde cada metro es equivalente a 1 centímetro. Mida con transportador los ángulos internos y, con una regla graduada en centímetros, mida los catetos e hipotenusa del triángulo.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Trigonometría es el nombre de la rama de la matemática que se dedica a realizar cálculos relacionando los lados y ángulos de un triángulo.

Un triángulo es notable cuando existe una relación conocida entre sus lados. Por ejemplo, el triángulo rectángulo notable de 45º posee sus dos catetos de igual longitud. El triángulo notable de 30º y 60º tiene una longitud de hipotenusa que es el doble de tamaño del cateto menor del triángulo. En la Figura 3, se muestran las características de estos dos triángulos.

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Figura 3

1. Explique: ¿cómo resuelve las situaciones planteadas al inicio del tema 5?

Razonamiento matemático

• En la primera situación, Alberto mide la altura de un pinabete con la ayuda de un clinómetro. Observe que se forma un triángulo notable de 45° y como sus lados son de igual tamaño, se concluye que la altura del pinabete es y = 3 metros.
• En la segunda situación, Alfredo y Judith miden la profundidad de un valle. Observe que se forma un triángulo notable de 30° y 60°; si la hipotenusa mide 10 metros, entonces el cateto de menor longitud, que es la profundidad del valle, mide 5 metros.

Las razones trigonométricas son relaciones entre los ángulos y lados de un triángulo. La figura 4 ilustra tres razones trigonométricas conocidas como: seno, coseno y tangente.

Figura 4

[math]\displaystyle{ sen \alpha=\frac{cateto opuesto}{hipotenusa} }[/math]

[math]\displaystyle{ cos \alpha=\frac{cateto adyacente}{hipotenusa} }[/math]

[math]\displaystyle{ tg \alpha=\frac{cateto opuesto}{cateto adyacente} }[/math]

2. Analice los siguientes ejemplos.

La figura 5 muestra un triángulo rectángulo.

¿Cuál es el valor de α en el triángulo?

Para determinar el valor del ángulo α, se deben relacionar los lados conocidos con una razón trigonométrica. Para esta situación, la razón trigonométrica: coseno relaciona al cateto adyacente e hipotenusa de la siguiente forma:[math]\displaystyle{ cos \alpha=\frac{cateto adyacente}{hipotenusa}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2} }[/math]

¿Cómo se puede saber el valor del ángulo interno? Una forma de establecer el valor es emplear una tabla de ángulos especiales, tal como se muestra en la Tabla 1. Los ángulos denominados especiales son: 45°, 30° y 60°, estos además son los ángulos internos de los triángulos notables estudiados anteriormente.

La tabla 1 sirve de referencia para ubicar que el ángulo para [math]\displaystyle{ cos \alpha=1/_2 }[/math], es α = 60°.

Tabla 1 de ángulos especiales

Figura 1

[math]\displaystyle{ \alpha }[/math]	[math]\displaystyle{ 30° }[/math]	[math]\displaystyle{ 45° }[/math]	[math]\displaystyle{ 60° }[/math]
[math]\displaystyle{ sen (\alpha ) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ cos (\alpha ) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ tan (\alpha ) }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{3}} }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math]

3. Determine el ángulo alfa (α) en cada uno de los triángulos de la Figura 6. Utilice como referencia la Tabla 1 de ángulos especiales.

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Figura 6

En el primer caso, se utiliza la razón: [math]\displaystyle{ sen \alpha=\frac{op}{hip}=\frac{18}{36}=0.5 }[/math], por lo tanto, el ángulo [math]\displaystyle{ \alpha = 30° }[/math].

Cierre

Ejercicios del tema

1. Resuelva, en su cuaderno, las siguientes situaciones.

Alberto tiene un árbol de manzanas en su patio, tal como se muestra en la figura 7. El ángulo de elevación [math]\displaystyle{ \beta }[/math] desde el punto B es de 30° y él se encuentra a una distancia de 6 metros de la base del árbol. ¿Cuál es la altura del árbol?

Figura 7

Razonamiento matemático

• Se identifica que el cateto adyacente es 6 metros y el cateto opuesto es h metros.
• Se establece que la razón tangente resuelve el problema.
• Al realizar el procedimiento matemático, se obtiene:

[math]\displaystyle{ tan 30°=\frac{h}{6} }[/math] Luego se despeja h.

[math]\displaystyle{ h=6 tan 30º }[/math]. Del cuadro 1 se sabe que [math]\displaystyle{ tan 30º =\frac{1}{\sqrt{3}} }[/math]

Se concluye que [math]\displaystyle{ h =6*\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3} \approx 3.46m. }[/math]

Desde lo alto de un edificio, es posible observar una patrulla de la policía. Margarita, colocada en lo alto del techo, mide un ángulo de depresión de 60° (por debajo de la línea horizontal) hasta la patrulla, tal como lo muestra la Figura 8. El edificio tiene una altura de [math]\displaystyle{ 10 \sqrt{3} }[/math] metros. ¿A qué distancia se encuentra la patrulla de la base del edificio?

Figura 8

Razonamiento matemático

Se identifica que el cateto adyacente: x es el valor que se debe determinar y que el cateto opuesto es: [math]\displaystyle{ 10 \sqrt{3} }[/math] metros. Se establece que la razón tangente resuelve el problema.

Al realizar el procedimiento matemático, se obtiene:

[math]\displaystyle{ tan 60° = \frac{op}{ad y}= \frac{10 \sqrt{3}}{x} }[/math]. Luego se despeja x: [math]\displaystyle{ x=\frac{10\sqrt{3}}{tan 60°} }[/math] Del cuadro 1 se sabe que [math]\displaystyle{ tan 60°= \sqrt {3} }[/math].

Se concluye que: [math]\displaystyle{ x =\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=10m }[/math]

Revise más ejercicios en los siguientes videos:

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.