Tema 6. Empleo de las razones trigonométricas

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Indicadores de logro

1. Aplica las razones trigonométricas para resolver problemas de la tecnología y el entorno.
2. Utiliza tablas o calculadora para determinar el valor de un ángulo en un triángulo rectángulo.

1. Lea y analice la siguiente situación.

José emplea una escalera para llevar unos paquetes hasta el techo de dos casas que tienen diferente altura, tal como se muestra en la Figura 1. Para llegar hasta el techo de las casas, colocó la escalera con diferente ángulo de elevación. La altura de la casa 1 es [math]\displaystyle{ h_1 = 4 }[/math] metros y la altura de la casa 2 es [math]\displaystyle{ h_2 = 4.9 }[/math] metros. ¿José empleó la misma escalera o son escaleras con diferente longitud?

• Exponga el resultado en clase y deje constancia del trabajo realizado en el cuaderno.

Figura 1

Revise en Khan Academy los ejercicios y videos sobre trigonometría de triángulos rectángulos.

https://bit.ly/2Mo8ke2

Razonamiento matemático

En la primera casa, se establece que el cateto adyacente es de 4 metros y la hipotenusa es la longitud de la escalera. Emplee la razón sen 45º para determinar la longitud de la escalera. Luego del análisis, se resuelve que:

[math]\displaystyle{ sen 45°=\frac{4}{hip} }[/math], al despejar la hipotenusa y sustituir:[math]\displaystyle{ sen 45°=\frac{\sqrt{2}}{2} }[/math], se obtiene [math]\displaystyle{ hip =\frac{4}{sen 45°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2} \approx 5.66m }[/math]. Se determina que la longitud es: [math]\displaystyle{ 5.66 m }[/math].

Razonamiento matemático

En la segunda casa, se establece que el cateto adyacente es de 4.9 metros y la hipotenusa es también la longitud de la escalera. Luego de emplear la razón seno [math]\displaystyle{ 45° }[/math], para determinar la longitud de la escalera se obtiene:[math]\displaystyle{ hip =\frac{4.9}{sen 60°}=\frac{4.9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= \frac{9.8}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{9.8{\sqrt 3}}{3} \approx 5.66m }[/math]. Se determina que la longitud es: [math]\displaystyle{ 5.66 m }[/math]. Por lo tanto, se concluye que José empleó la misma escalera en ambas casas.

Desarrollo

Nuevos aprendizajes

Para el cálculo de las razones trigonométricas, se han diseñado tablas matemáticas en las que se pueden consultar los valores de diferentes ángulos.

En la Figura 2, se observa una parte de esta tabla, desde el ángulo 46º hasta el ángulo de 60°.

Esta tabla se puede consultar en el sitio electrónico: http://goo.gl/VY6ulQ.(Actualmente no disponible)

¿Cómo se usa esta tabla? Por ejemplo, sen (50°) es 0.766, cos (50°) es 0.643 o tan (60°) es 1.192. También se puede utilizar a la inversa:

• Por ejemplo, si cos α = 0.545, ¿cuál es el valor del ángulo α? Esto se representa de la forma siguiente: α = cos -1 (0.545) y se lee: “coseno inverso de 0.545”; al buscar este número en la tabla, en la columna de coseno, se observa que a 0.545 le corresponde 57º.
• Otro ejemplo es el siguiente: si tan α = 1.327. ¿Cuál es el valor de α? Al buscar el número 1.327 en la columna de tangente, se observa que a este número le corresponde el ángulo de 53º. Esto se escribe así: α = tan -1 (1.327) = 53º y se lee: “tangente inversa de 1.327”.

Figura 2

Ángulo	Seno	Coseno	Tangente
46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° 59° 60°	0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866	0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500	1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732

1. Analice la siguiente situación.

¿Cuál es el valor del cateto opuesto del siguiente triángulo rectángulo? Se sabe que el ángulo alfa es: α = 50° y el cateto adyacente es de 20 pies, tal como se muestra en la figura 3.

La razón trigonométrica tan (50º) permite determinar la longitud del cateto opuesto. El procedimiento es el siguiente:

• Por la tabla, se conoce que [math]\displaystyle{ tan (50°) = 1.192 }[/math].
• La razón es: [math]\displaystyle{ tan 50º =\frac{op}{ady}=\frac{op}{20} }[/math]
• Al despejar el cateto opuesto, se obtiene: [math]\displaystyle{ op = 20 tan 50° = 1.192 \approx 23.84 }[/math]. Se concluye que el cateto opuesto tiene un valor de [math]\displaystyle{ 23.84 pies }[/math].
• Se comprueba que: [math]\displaystyle{ tan 50° =\frac{23.84}{20}=1.192 }[/math].

Figura 3

¿Qué necesitamos saber?

Las calculadoras científicas nos dan directamente el valor del sen, cos o tan de cualquier ángulo. También nos dicen cuál es el ángulo si conocemos el valor de una razón trigonométrica. Las calculadoras manejan tres medidas de ángulos, tal como se ilustra en la Figura 4. En esta sesión emplearemos el modo: DEG.

• Grados sexagesimales (DEG). Son los que se utilizan normalmente.
• Radianes (RAD). Expresa los ángulos en radianes.
• Grados centesimales (GRA).
  Se emplean en cursos superiores de matemática.
  Estas unidades no se emplean en el ciclo básico.

Figura 4

2. Analice la siguiente situación.

Alfredo midió el ángulo de elevación desde su posición hasta la parte alta de un poste de alumbrado eléctrico, tal como se muestra en la Figura 5.

La cuerda atada al extremo alto del poste hasta la posición de Alfredo mide 10 metros. ¿Cuál es la altura del poste?

Figura 5

Razonamiento matemático

El poste, la cuerda y el suelo forman un triángulo rectángulo con un ángulo de [math]\displaystyle{ 37° }[/math]. Este ángulo sirve de referencia para escribir la razón trigonométrica: [math]\displaystyle{ sen 37°\frac{op}{hip}=\frac{altura}{10} }[/math]

Por medio de la tabla matemática o una calculadora científica, se determina que sen [math]\displaystyle{ 37°=0.602 }[/math], observe que se trabaja con tres cifras después del punto decimal.

Al despejar, se obtiene que: [math]\displaystyle{ altura = 10 x sen 37°= 10 x 0.602 }[/math], al multiplicar se concluye que el resultado es: 6.02 metros.

Utilice las siguientes calculadoras científicas en línea para realizar cálculos: https://es.symbolab.com/, https://web2.0calc.es/

En el siguiente enlace, puede encontrar recursos para repasar las razones trigonométricas:

• Encuentra el valor de un lado: https://bit.ly/2lTf8Ec
• Aplicación de las razones trigonométricas: https://bit.ly/2kK1HGg

Cierre

Ejercicios del tema

Nivel: Análisis

1. Lea y responda a las preguntas.

Ana y Alberto determinan la altura de una torre eléctrica. Para ello, miden los ángulos de elevación desde una distancia de 50 metros y 200 metros de la base de la torre. Vea la fFigura 6.

• ¿Cuál es la altura de la torre eléctrica?
• ¿Cuál es el valor del ángulo de elevación medido a 200 metros de la torre eléctrica?

Figura 6

Razonamiento matemático de la actividad 1

Con el triángulo rectángulo que tiene un ángulo interno de [math]\displaystyle{ 70° }[/math], se puede determinar la altura de la torre de la siguiente forma: [math]\displaystyle{ tan 70°=\frac{h}{50} }[/math], donde [math]\displaystyle{ h = 50 tan 70° }[/math].

• La altura es: [math]\displaystyle{ h = 50 x (2.747) = 137.35 }[/math] metros.
• Observe que tan [math]\displaystyle{ 70° = 2.747 }[/math], este valor se obtiene de una tabla o por medio de calculadora.
• Existe otro triángulo rectángulo con cateto adyacente de [math]\displaystyle{ 200 }[/math] metros y cateto opuesto de [math]\displaystyle{ 137.35 }[/math] metros.
• La razón tan α permite determinar el ángulo de elevación. [math]\displaystyle{ tan \alpha =\frac{137.35}{200}=0.687. }[/math]
• Emplear una calculadora científica para calcular que:[math]\displaystyle{ \alpha=tan\underline{-1}(0.687) = 34.5° }[/math].

2. Determine la altura en la que se encuentra el globo aerostático en ese momento.

Un globo aerostático se eleva ante la mirada de Adrián, que se encuentra en el vértice A. Sus amigos observan cómo el globo se eleva en los puntos B y C, tal como se muestran en la figura 7. El globo se detiene a una altura h sobre el suelo.

Figura 7

Razonamiento matemático de la actividad 1

En la Figura 7, el [math]\displaystyle{ \Delta ACD }[/math] tiene los siguientes catetos: adyacente:[math]\displaystyle{ 100 + x }[/math] opuesto: altura.

El [math]\displaystyle{ \Delta BCD }[/math] tiene los catetos: adyacente: [math]\displaystyle{ x }[/math] opuesto: altura.

Las razones trigonométricas para estos [math]\displaystyle{ 2 \Delta }[/math] rectángulos son: [math]\displaystyle{ tan 30° =\frac{altura}{x +100} }[/math] y [math]\displaystyle{ tan 60°=\frac{altura}{x} }[/math]

Observe que en ambas razones la altura es común. Por lo tanto, se puede escribir la siguiente igualdad:[math]\displaystyle{ (x+100) tan 30º = x tan 60° }[/math]

Al resolver la ecuación, se determina que x es: 50 metros y la altura es: 86.6 metros.

Conjunto de acciones (formas de actuar o de resolver tareas), con un orden, plan o pasos, para conseguir un determinado fin o meta. Se trata de saber hacer cosas, aplicar o actuar de manera ordenada para solucionar problemas, satisfacer propósitos o conseguir objetivos. Forman los contenidos procedimentales.

Término introducido por Le Boterf, entendido como los conocimientos, procedimientos y actitudes que es preciso emplear para resolver una situación. Unos son recursos internos, que posee la persona, tales como conocimientos, procedimientos y actitudes